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3.6 直线和圆的位置关系
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线l与⊙O相切于点A，B为直线l上一点，若∠B＝35°，则∠AOB＝（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF＝3，，则cos∠DEH＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D、C、B在一条直线上，且DC＝2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则∠EAC的度数是（　　）
A．60° B．45° C．30° D．50°
4．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A＝38°，那么∠C等于（　　）
A．26° B．28° C．33° D．38°
5．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（5，6），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
6．如图，AB是⊙O的切线，A是切点，AC是弦，BC过圆心O，若∠B＝34°，则∠C＝（　　）
A．17° B．28° C．33° D．56°
7．圆的直径是16cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线与圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
8．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B．∠P＝30°，BP＝3，则线段AP的长为（　　）
A．3 B． C．6 D．9
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝50°，则∠BEC＝130°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若圆心O到直线l的距离等于⊙O的直径，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
二．填空题（共6小题）
11．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　 　秒时，⊙P与坐标轴相切．
12．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝50°，则∠BEC＝130°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的选项是 　 　．
13．如图，C为平面直角坐标的原点，直线AB与两坐标轴交于A，B两点，AC＝8，AB＝10，若⊙O的圆心在直线上，且⊙O与AB，AC所在直线相切，则圆心O的坐标是 　 　．
14．如图，I是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BIC＝　 　．
15．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 　 　步．
16．如图，AD∥BC，AD，BC，DC分别与⊙O相切于点A，B，E，连接DO并延长与CB的延长线相交于点F．已知AD＝3，EC＝5，则DF的长为 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，等腰△ABC的底边BC为⊙O的弦，AD与⊙O相切于D点，C，O，D在同一条直线上，AD，CB的延长线相交于E，连接OA．已知．
（1）求证：OA＝CE；
（2）若，BC＝2，求BE的长．
18．如图，在圆内接四边形ABCD中，BD为⊙O的直径，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE并延长AE交⊙O于点G，圆心O在AG上，过点D作DF∥AG．
（1）求证DF为⊙O的切线；
（2）若OA＝5，tan∠ABC＝2，求CD的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，连接AC、AD，使得AB2＝BD BC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，求证：CA＝CF．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，，求图中阴影部分的面积．
21．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝OA，求BE的长．
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，在AC下方作∠CAE＝∠CAD，过点C作CE⊥AE，垂足为点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AF＝3，求BD的长．
23．如图，AB为圆O的直径，点D为的中点，连结AD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是圆O的切线．
（2）延长ED交AB的延长线于点F，若BF＝4，DF＝6，求直径AB的长．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，若CE是⊙O的切线．
（1）求证：CE＝BC；
（2）若CD＝4，tan∠BEC，求⊙O半径的长．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD＝CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BD＝3，AD＝6，求AE的长．
3.6 直线和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，然后利用互余计算出∠ABO的度数．
【解答】解：∵直线l与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
2．【答案】D
【分析】连接OE，由切线的性质推出半径OE⊥EH于E，得到∠OEF+∠DEH＝90°，又∠OEF+∠EOF＝90°，推出∠EOF＝∠DEH，求出AB＝3，得到OE＝OBAB，求出OF＝OB﹣BF，于是得到cos∠DEH＝cos∠EOF．
【解答】解：连接OE，
∵EH切圆于E，
∴半径OE⊥EH于E，
∴∠OEF+∠DEH＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠OEF+∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠DEH，
∵AF＝3，，
∴AB＝3，
∴OE＝OBAB，
∴OF＝OB﹣BF，
∵∠DEH＝∠EOF，
∴cos∠DEH＝cos∠EOF．
故选：D．
【点评】本题考查切线的性质，解直角三角形，关键是由切线的性质，得到半径OE⊥EH于E，由余角的性质推出∠EOF＝∠DEH．
3．【答案】A
【分析】设半圆的圆心为O，连接OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC＝∠ABC＝60°，又由AE是切线，证明Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案．
【解答】解：设半圆的圆心为O，连接OA，
∵CD＝2OC＝2BC，
∴OC＝BC，
∵∠ACB＝90°，即AC⊥OB，
∴OA＝BA，
∴∠AOC＝∠ABC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠ACO＝90°，
在Rt△AOE和Rt△AOC中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），
∴∠AOE＝∠AOC＝60°，
∴∠CAE＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOE﹣∠AOC＝60°．
故选：A．
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
4．【答案】A
【分析】连接OB，由切线的性质得到半径OB⊥AB，因此∠ABO＝90°，求出∠AOB＝52°，由圆周角定理得到∠C∠AOB＝26°．
【解答】解：连接OB，
∵AB切圆于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝38°，
∴∠AOB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠C∠AOB＝26°．
故选：A．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由切线的性质得到∠ABO＝90°，由圆周角定理推出∠C∠AOB．
5．【答案】A
【分析】由题意易得⊙P的圆心到x的距离为6，半径为5，进而可根据直线与圆的位置关系可求解．
【解答】解：∵⊙P的圆心坐标为（5，6），
∴⊙P的圆心到x的距离为d＝6，
∵⊙P的半径为r＝5，
∴6＞5，即d＞r，
∴x轴与⊙P的位置关系是相离；
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】根据切线的性质和三角形的内角和定理以及圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接AO，
∵AB是⊙O的切线，A是切点，
∴∠BAO＝90°，
∵∠B＝34°，
∴∠AOB＝56°，
∴∠C28°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析：设圆心到直线的距离是d，圆的半径是r．当d＝r，则直线和圆相切；当d＜r，则直线和圆相交；当d＞r，则直线和圆相离．
【解答】解：∵圆的直径为16cm，
∴圆的半径为8cm，
∵圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，
∴圆心与直线的距离小于6.5cm，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：C．
【点评】此题考查了直线和圆的位置关系．注意：直线上一点与一个圆的圆心的距离不一定是圆心到直线的距离，圆心到直线的距离应小于或等于这个距离．
8．【答案】B
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，进而利用直角三角形30°的性质得出关于半径的方程，再利用勾股定理即可确定AP的长度．
【解答】解：如图所示：连接OA，设OA＝r，则OB＝r，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝30°，OA＝OB＝r，BP＝3，
∴OP＝2OA，
∴r+3＝2r，
∴r＝3，
∴．
故选：B．
【点评】题目主要考查了切线的性质以及直角三角形中30°角的性质，正确作出辅助线是解题关键．
9．【答案】C
【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，则可对④进行判断．
【解答】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC∠ABC，∠ECBACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝115°，
故②不正确；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，
故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
故④正确，
∴一定正确的①③④，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，掌握三角形的内心与外心是解决本题的关键．
10．【答案】C
【分析】由题意得出d＞r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可
【解答】解：若圆心O到直线l的距离d等于⊙O的直径，
那么圆心O到直线l的距离d大于半径r，
即d＞r，
所以线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：C．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，熟记：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】设⊙P与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），求得AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2，推出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，③当⊙P只与y轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是1，
∴PD⊥x轴，PD＝1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB，
∴AP＝AB﹣PB，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝1；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB，
∴AP＝AB+PB＝3，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝3；
③当⊙P只与y轴相切时，
∵PC，
∴AP＝AC+PC＝5，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝5．
综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
12．【答案】①③④．
【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到BD＝DE，则可对④进行判断．
【解答】解：∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点E是△ABC的内心，
∴，，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°，
∴，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣65°＝115°，故②不正确；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∵点G为BC的中点，
∴DG⊥BC，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确，
∴一定正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心的定义是解题的关键．
13．【答案】（9，3）或（4，）．
【分析】利用勾股定理求得相等BC的长度，利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①设⊙O与AB，AC所在直线相切于点D，E，连接OD，OE，OB，OA，过点O作OF⊥BC，设O（3x，x），则OD＝x，CD＝3x，利用S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB，列出关于x的方程解答即可；②设⊙O与AB，AC所在直线相切于点N，M，连接OM，ON，OB，OA，设O（3x，x），则OM＝x，CM＝3x，利用S梯形OMCB＝S△ABC+S△OAB+S△OAM，列出关于x的方程解答即可．
【解答】解：∵AC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴BC6．
①设⊙O与AB，AC所在直线相切于点D，E，连接OD，OE，OB，OA，过点O作OF⊥BC，如图，
∵⊙O与AB，AC所在直线相切于点D，E，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OE＝OD，
∵∠ACB＝90°，OF⊥BC，
∴四边形ODCF为矩形，
∴OF＝CD，
∵⊙O的圆心在直线上，
∴设O（3x，x），则OD＝x，CD＝3x，
∴OF＝CD＝3x，
∵S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB，
∴AC BCBC OFAC ODAB OE，
∴8×6＝6×3x+8x+10x，
∴x．
∴3x＝4，
∴O（4，）；
②设⊙O与AB，AC所在直线相切于点N，M，连接OM，ON，OB，OA，如图，
∵⊙O与AB，AC所在直线相切于点N，M，
∴OM⊥AC，ON⊥AB，OM＝ON，
∵⊙O的圆心在直线上，
∴设O（3x，x），则OM＝x，CM＝3x，
∴AM＝3x﹣8，ON＝x，
∵S梯形OMCB＝S△ABC+S△OAB+S△OAM，
∴（BC+OM）AC BCAM OMAB ON，
∴（6+x）×3x＝6×8+（3x﹣8）x+10x，
∴x＝3，
∴3x＝9，
∴O（9，3）．
综上，圆心O的坐标是（9，3）或（4，）．
故答案为：（9，3）或（4，）．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，圆的切线的性质，一次函数的图象与性质，矩形的判定与性质，梯形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
14．【答案】115°．
【分析】直接利用三角形内心即角平分线的交点，外心是外接圆圆心，进而得出答案．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵△ABC的内心为I，
∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠IBCABC，∠ICBACB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°130°
＝115°，
故答案为：115°．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的内切圆和外接圆的应用，注意：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，正确把握内心、外心的定义是解题关键．
15．【答案】6．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB17，
∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），
故答案为：6．
【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r是解题的关键．
16．【答案】4．
【分析】过D点作DH⊥BC于H点，如图，利用切线的性质和切线长定理得到∴OA⊥AB，OB⊥BC，DA＝DE＝3，CB＝CE＝5，再证明点A、O、B共线，则四边形ABHD为矩形，所以BH＝AD＝3，接着证明△AOD≌△BOF得到AD＝BF＝3，然后利用勾股定理计算出DH＝2，再计算出DF．
【解答】解：过D点作DH⊥BC于H点，如图，
∵AD，BC，DC分别与⊙O相切于点A，B，E，
∴OA⊥AB，OB⊥BC，DA＝DE＝3，CB＝CE＝5，
∵AD∥BC，
∴点A、O、B共线，
∵∠ABH＝∠DAB＝∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴BH＝AD＝3，
在△AOD和△BOF中，
，
∴△AOD≌△BOF（ASA），
∴AD＝BF＝3，
∴FH＝BF+BH＝3+3＝6，CH＝CB﹣BH＝5﹣3＝2，
在Rt△DCH中，∵CH＝2，CD＝5+3＝8，
∴DH2，
在Rt△DFH中，DF4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和勾股定理．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）详见解答；
（2）BE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、轴对称的性质以及三角形全等的判定方法得出△CDE≌△ADO即可；
（2）根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】证明：（1）如图，连接OB，延长AO交BC于点F，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴AF所在的直线是⊙O，等腰三角形△ABC的对称轴，
∴AF⊥BC，BF＝FCBC，
∵AD与⊙O相切于D点，C，O，D在同一条直线上，
∴CD⊥AE，
即∠CDE＝∠ADC＝90°，
∵tan，
∴DECD，
又∵OD，
∴DE＝OD，
∵∠DCE+∠DEC＝90°＝∠FCO+∠FOC＝∠AOD+∠OAD，而∠AOD＝∠FOC，
∴∠DCE＝DAO，
∴△CDE≌△ADO（AAS），
∴EC＝OA；
解：（2）在Rt△AFC中，，FCBC＝1，
∴AF3，
在Rt△COF中，FC＝1，tan，
∴OFFC，
∴OC，
∴CD＝2OC，DE＝OC，
在Rt△CDE中，
EC，
∴BE＝EC﹣BC2．
【点评】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质是正确解答的关键．
18．【答案】（1）详见解答；
（2）CD＝2．
【分析】（1）根据圆周角定理，轴对称的性质以及等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，在直角三角形ACG中，由锐角三角函数的定义设CG＝x，则AC＝2X，由勾股定理求出CG即可，再根据轴对称的性质以及圆周角定理得出CG＝CD即可得出答案．
【解答】证明：（1）如图，连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵点D、点E关于AC对称，即AC是DE的中垂线，
∴∠ACE＝∠ACD＝45°，
∴AB＝AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵OB＝OD，
∴AG⊥BD，
∵DF∥AG，
∴DF⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
解：（2）连接GC，则∠G＝∠ABC，
∵点D、点E关于AC对称，即AC是DE的中垂线，
∴∠GAC＝∠DAC，
∴CG＝CD，
∵AG是是⊙O的直径，
∴∠ACG＝90°，
在Rt△ACG中，AG＝2OA＝10，tan∠G＝tan∠ABC＝2，
设CG＝x，则AC＝2x，由 勾股定理得，
AC2+CG2＝AG2，
即（2x）2+x2＝102，
解得x＝2或x＝﹣20（舍去），
即CD＝2．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数以及直角三角形的勾股定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的前提．
19．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠ADB＝90°，证得△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质得到∠ADB＝∠CAB＝90°，根据切线的判定定理即可证得结论；
（2）由弧和圆周角的关系证得∠BAE＝∠DAE，根据直角三角形的性质和三角形的外角定理证得∠CAF＝∠AFC，由等腰三角形的判定定理即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB2＝BD BC，
∴，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵∠AFC＝∠B+∠BAF，∠ADB＝∠CAB＝90°
∴∠CAD＝∠B，
∵点E是的中点，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠CAF＝∠CAD+DAE＝∠B+∠BAF＝∠AFC，
∴CA＝CF．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧和圆周角的关系，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
20．【答案】（1）见解析；
（2）π．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝2，所以BD＝CD＝2，可求得AD＝BD tan30°＝2，再证明△AOD是等边三角形，则OD＝AD＝2，根据圆的面积公式和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD tan30°＝22，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，∠BOD＝120°，
∴OD＝AD＝2，
∴图中阴影部分的面积22π21π．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．
21．【答案】（1）见解析，
（2）2．
【分析】（1）连接OD．根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝90°，再根据角平分线得∠ACD＝∠BCD＝45°，进而得∠ABD＝∠ACD＝45°，又由∠ODB＝∠OBD＝45°，从而根据平行线的性质得∠BDE＝∠OBD＝45°，于是∠ODE＝∠ODB+∠BDE＝90°，得OD⊥DE，根据切线的判定即可证明结论成立；
（2）如图2，过点B作BF⊥DE于点F，连接OC，先证明四边形ODFB是正方形，则AB∥DE．再根据△OCB是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明，如图1，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD＝45°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠OBD＝45°，
∴∠ODE＝∠ODB+∠BDE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解：如图2，过点B作BF⊥DE于点F，连接OC，
∴∠BFE＝∠BFD＝90°，
∵AB∥DE，OD⊥DE，
∴四边形ODFB是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形ODFB是正方形，
∵，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠E＝∠ABC＝60°，
∴在Rt△BEF中，，
则∠EBF＝30°，
∴BE＝2EF，
∴，
∴EF＝1，
则BE＝2．
【点评】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
22．【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）由AB＝BC，得到∠BAC＝∠BCA，由AB为⊙O的直径，可得∠ADB＝∠ADC＝90°，推出∠BCA+∠CAD＝90°，结合∠CAE＝∠CAD，即可求解；
（2）连接BF，可得BF⊥AC，且AC＝2AF＝6，进一步求得BF和AD，即可求得BD．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BCA+∠CAD＝90°，
∵∠CAE＝∠CAD，
∴∠BAC+∠CAE＝90°，即∠BAE＝90°，
∴AB⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，如图，
∵AB＝BC，且AB为⊙O的直径，
∴BF⊥AC，AC＝2AF＝6，
∵AB＝8，AF＝3，
∴，
∵，
∴，
则．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
23．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）AB＝5．
【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质与垂直的定义得到OD⊥DE，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝r，OF＝r+2，利用（1）的结论和勾股定理列出方程解答即可求得圆的半径，进而得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OF＝r+4，
∵OD⊥DE，
∴OD2+DF2＝OF2，
∴r2+62＝（r+4）2，
解得：r．
∴AB＝5．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，平行线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）6．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EC，得到∠OED+∠BEC＝90°，根据OE＝OD，得到∠OED＝∠ODE，证明∠BEC＝∠CBE，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）根据正切的定义求出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵CE是⊙O的切线，
∴OE⊥EC，
∴∠OED+∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDB+∠CBE＝90°，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠ODE＝∠CDB，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵∠BEC＝∠CBE，tan∠BEC，
∴tan∠CBD，
∴，
∵CD＝4，
∴BC＝8，
∴EC＝8，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+EC2，即（r+4）2＝r2+82，
解得：r＝6，即⊙O的半径为6．
【点评】本题考查的是切线的性质、正切的定义、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．【答案】（1）证明见解答；
（2）AE的长为10．
【分析】（1）连接OA，则OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA，由切线的性质证明∠EAO＝90°，由垂径定理证明∠ADB＝90°，则∠DAB+∠OBA＝90°，∠EAB+∠OAB＝90°，所以∠EAB＝∠DAB，则AB平分∠DAE；
（2）因为BD＝3，AD＝6，所以OD＝OB﹣3＝OA﹣3，由勾股定理得62+（OA﹣3）2＝OA2，求得OA，则OD，所以tan∠AOE，则AEOA＝10．
【解答】（1）证明：连接OA，则OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥OA，
∴∠EAO＝90°，
∵AD＝CD，
∴OB⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠OBA＝90°，
∵∠EAB+∠OAB＝∠EAO＝90°，
∴∠EAB＝∠DAB，
∴AB平分∠DAE．
（2）解：∵∠ADO＝90°，
∴AD2+OD2＝OA2，
∵BD＝3，AD＝6，
∴OD＝OB﹣3＝OA﹣3，
∴62+（OA﹣3）2＝OA2，
解得OA，
∴OD3，
∴tan∠AOE，
∴AEOA10，
∴AE的长为10．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、锐角三角函数与角直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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