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3.7 切线长定理
一．选择题（共10小题）
1．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，则△PDE的周长是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．不能确定
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）
A． B．3 C．3 D．
3．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）
A．12cm
B．7cm
C．6cm
D．随直线MN的变化而变化
4．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝15，则△PCD的周长为（　　）
A．15 B．12 C．20 D．30
7．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（　　）个：
①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（　　）
A．5 B．10 C．7.5 D．4
10．如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为（　　）
A．7 B．14 C．10.5 D．10
二．填空题（共6小题）
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为　 　．
12．如图，⊙O的半径为3cm，点P到圆心的距离为6cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为　 　度．
13．如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 　 　．
14．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得PA＝5cm，则铁环的半径为　 　．
15．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则∠BOC＝　 　度，⊙O的半径是 　 　cm，BE+CG＝　 　cm．
16．一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，梯形的两腰与上底均与半圆O相切，已知AD＝3，BC＝4，求CD．
18．如图，⊙O的直径AB＝18，AC和BD是它的两条切线，CD与⊙O相切于E，且与AC、BD相交于点C、D，设
AC＝x，BD＝y，试求xy的值．
19．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．
（1）求△PDE的周长；
（2）若DEcm，求图中阴影部分的面积．
20．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
21．如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
22．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．
23．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．
（Ⅰ）求∠P的大小；
（Ⅱ）若AB＝2，求PA的长（结果保留根号）．
24．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA＝5cm，C是上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？
25．已知：如图，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作⊙O的切线与AB，AC分别交于点D，E．
（1）连接OD和OE，若∠A＝50°，则∠DOE＝　 　°；
（2）当点P在的何处时，PD＝PE？为什么？
3.7 切线长定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据题意画出图形，由PA和PB为圆的切线，根据切线长定理得到PA与PB相等，同理得到DA与DC相等，EC与EB相等，然后表示出三角形PDE的三边和，等量代换后即可求出三角形PDE的周长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD＝DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC＝EB，
又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA＝PB＝4，
则△PDE的周长C＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE
＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．
故选：B．
【点评】此题考查学生掌握切线长定理，即经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等且此点与圆心的连线平分两切线的夹角，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．理解过点D和点E分别作圆的两条切线是解本题的关键．
2．【答案】D
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣6，0）、B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴AB＝6
∴OPAB＝3，
∵OQ＝2，
∴PQ，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
3．【答案】B
【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键．
4．【答案】A
【分析】根据切线长定理求出AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，得出等边三角形ADF，推出AD＝AF＝DF，根据BC＝6，求出BD+CF＝6，求出AD+AF＝4，即可求出答案．
【解答】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD4＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+AF的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．
5．【答案】C
【分析】分别利用切割线定理得出CH以及BC的长，进而求出BH的长即可．
【解答】解：由8CF＝DF，得CF＝15，
则CH2＝CF×DC，
故CH＝5，
设BC＝x，则BH＝x﹣5＝BG，
故AG＝20﹣x，
又∵5AE＝4DE，
∴DEx，AEx，
则AG2＝AE×AD，则（20﹣x）2x2，
解得：x＝12，
故BH＝BC﹣CH＝7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了切割线定理以及平行四边形的性质，得出CH，BC的长是解题关键．
6．【答案】D
【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，BD＝DE，AP＝BP，进而求出答案．
【解答】解：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
∴AC＝EC，BD＝DE，AP＝BP，
∵PA＝15，∴△PCD的周长为：PA+PB＝30．
故选：D．
【点评】此题主要考查了切线长定理，得出△PCD的周长为：PA+PB是解题关键．
7．【答案】D
【分析】直接利用切线长定理求解．
【解答】解：∵PA，PB均为⊙O切线，
∴PB＝PA＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
8．【答案】B
【分析】根据切线长定理得到AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，则AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．
【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，
∴AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．
①AF＝BG；④BG＜CG无法判断．
正确的有②③．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
9．【答案】A
【分析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AF的长，然后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE＝5，可求出AF的长．
【解答】解：设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9﹣x，CE＝CF＝CA﹣AF＝6﹣x，
则有9﹣x+6﹣x＝5，解得x＝5，即AF的长为5．
故选：A．
【点评】此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解．
10．【答案】B
【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，
∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长＝PC+CD+PB
＝PC+CE+DE+PD
＝PC+CA+DB+PD
＝PA+PB＝14，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】连接AO，则△APO是直角三角形，根据切线长定理即可求解．
【解答】解：连接AO．则△APO是直角三角形．
根据OA＝3cm，OP＝6cm，因而∠APO＝30°，
所以∠APB＝60°．
【点评】本题主要考查了切线长定理．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AE，BE＝BD，求出BE的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∵BE、BD为⊙O的切线，
∴BE＝BD，
∴BD＝EB＝AB﹣AE＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
14．【答案】cm．
【分析】欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
【解答】解：过O作OQ⊥AB于Q，
设铁环的圆心为O，连接OP、OA，
∵AP为⊙O的切线，AQ也为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO，
又∠BAC＝60°，∠PAO+∠QAO+∠BAC＝180°，
∴∠PAO＝∠QAO＝60°，
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
∴OP（cm），
即铁环的半径为cm．
故答案为：cm．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识，掌握运用切线的性质来进行计算或论证是关键．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】连接OF，根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；再根据平行线性质得到∠BOC为直角，由勾股定理可求得BC的长，最后由三角形面积公式即可求得OF的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长．
【解答】解：连接OF；
根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC＝10cm，
∵OF⊥BC，
∴OF4.8cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r，则a+b＝2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S，
又∵r，
∴a+b＝2r+c，
∴直角三角形的面积是r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故答案为：．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】连接OE、OA、OF、OB、OG，根据切线的性质定理得到OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OE、OA、OF、OB、OG，
∵梯形的两腰与上底均与半圆O相切，
∴OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，
∵AB∥CD，
∴OF是梯形ABCD的高，
∴AD×OEAB×OFBC×OG（AB+CD）×OF，
∴（AB+3+4）×OF（AB+CD）×OF，
解得，CD＝7．
【点评】本题考查的是切线长定理、梯形的面积计算，掌握切线的性质定理、梯形的面积公式是解题的关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC，OD，根据勾股定理可得出OC和OD，再由切线的性质得出△OCD是直角三角形，根据勾股定理得出xy的值．
【解答】解：连接OC，OD．
∵AB＝18，∴OA＝OB＝9，
∵AC和BD是它的两条切线，
∴OA⊥AC，OB⊥BD，
∴AC∥BD，
∴∠ACD+∠BDE＝180°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∵AC＝x，BD＝y，
∴OC，OD，
∵CD是圆O的切线，
∴CE＝AC＝x，DE＝BD＝y，
∴OC2+OD2＝CD2，
即x2+81+y2+81＝（x+y）2，
整理得2xy＝162，
∴xy＝81．
【点评】本题考查了切线长定理以及勾股定理，还考查了切线的性质和平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据切线长定理得PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，由三角形周长定义得△PDE的周长＝PE+DE+PD，然后利用等线段可得△PDE的周长＝PA+PB＝6cm；
（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，根据切线的性质得∠OBP＝∠OPA＝90°，再根据四边形内角和计算出∠BOA＝120°，利用切线长定理得BE＝CE，DC＝DA，则根据三角形面积公式得到S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA，所以S五边AOBED＝2S△ODE＝4，然后根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB进行计算．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，
∴△PDE的周长＝PE+DE+PD＝PE+CE+CD+PD
＝PE+BE+AD+PD
＝PA+PB
＝3cm+3cm
＝6cm；
（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，
∵PA、PB、OC是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，
∴∠OBP＝∠OPA＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴∠BOA＝120°，
∵BE＝CE，DC＝DA，
∴S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA，
∴S五边AOBED＝2S△ODE＝24，
∴图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB＝4（4﹣π）cm2．
【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了扇形面积的计算．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论；
（2）连接AB，根据切线长定理求证PA＝PB，再三角形内角和定理求出∠PAB和∠PBA的度数，然后再利用BF为圆直径即可求出∠AFB的度数．
【解答】解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
【点评】本题考查的是切线长定理，题图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，求出四边形BMON是正方形，求出BM＝BN＝3，根据切线长定理求出EM＝EP，FP＝FN，最后求出△BEF的周长＝BM+BN，代入求出即可．
【解答】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
则∠OMB＝∠ONB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵ON＝OM，
∴四边形MBNO是正方形，
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM＝BN＝OM＝ONAB6＝3，
由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE
＝BF+PF+PE+BE
＝BF+FN+EM+BE
＝BN+BM
＝3+3
＝6．
【点评】本题考查了切线长定理，正方形的性质和判定，正方形的内切圆的应用，解此题的关键是求出△BEF的周长＝BN+BM和求出BM的长，注意：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
22．【答案】10cm．
【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，
同理可得：DA＝DC，EB＝EC，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．
【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质及切线长定理可证明△PAC为等边三角形，则∠P的大小可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA＝PC，在Rt△ACB中，利用30°的特殊角度可求得AC的长．
【解答】解：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，
∴∠BAP＝90°；
∵∠BAC＝30°，
∴∠CAP＝90°﹣∠BAC＝60°．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴PA＝PC，
∴△PAC为等边三角形，
∴∠P＝60°．
（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB＝90°．
在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，
∵cos∠BAC，
∴AC＝AB cos∠BAC＝2cos30°．
∵△PAC为等边三角形，
∴PA＝AC，
∴PA．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】根据切线长定理求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，代入求出△PDE的周长为2PA，代入即可．
【解答】解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE
＝PD+DC+CE+PE
＝PD+DA+PE+BE
＝PA+PB
＝2PA＝10cm．
答：△PED的周长是10cm．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，把△PDE的周长转化成含有PA的式子，题型较好，难度适中．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线长定理得到OD平分∠BOP，OE平分∠POC，计算即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BOD＝∠COE，证明△BOD≌△COE，得到OD＝OE，根据等腰三角形三线合一证明结论．
【解答】解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，
∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB＝DP，EP＝EC，AB＝AC，
∴∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB＝DP，
∴OD平分∠BOP，
同理得：OE平分∠POC，
∴∠DOE＝∠DOP+∠EOP（∠BOP+∠POC）∠BOC＝65°；
（2）当点P在的中点时，PD＝PE，
∵P在的中点，
∴∠BOD＝∠COE，
∴△BOD≌△COE，
∴OD＝OE，又∠POD＝∠POE，
∴PD＝PE．
【点评】本题考查的是切线长定理和切线的性质，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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