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3.8 圆内接正多边形
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF，以B为圆心，BA为半径作弧，以E为圆心，ED为半径作弧，已知⊙O的半径为2，则边AF，CD与，围成的阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
2．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（　　）
A．14° B．40° C．30° D．15°
4．如图，△ADF是⊙O的内接正三角形，四边形ACEG是⊙O的内接正方形，六边形ABDEFH是⊙O的内接正六边形，设上述正三角形周长为C1、正方形周长为C2、正六边形周长为C3，则C1：C2：C3为（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的个数为（　　）
①如果AC＝BC，则点C是线段AB的中点．
②两点之间的线段叫做两点间的距离．
③六条边都相等的六边形是正六边形．
④直线AB和直线BA表示同一条直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线MA与⊙O相切于点A，则∠MAB的度数为（　　）
A．60° B．45° C．35° D．30°
7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠FCD＝70°，则∠FDC度数为（　　）
A．64° B．72° C．74° D．80°
8．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（　　）
A．1 B．1 C．1 D．
9．正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（　　）
A．48πcm2 B．36πcm2 C．24πcm2 D．27πcm2
10．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（　　）
A．2 B．4 C． D．2
二．填空题（共6小题）
11．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，M，N分别为AB，BC的中点，若点P在直线MN右侧的正六边形边上移动，当使得MN＝NP时，MP长为 　 　．
12．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆半径是 　 　．
13．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则正六边形的面积为 　 　．
14．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，AB＝4，点E是上任意一点，CF⊥BE于F．当点E从点A出发按顺时针方向运动到点D时，则AF的最小值为 　 　．
15．如图，在正六边形OABCDE中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边OA落在x轴上．若点A的坐标为（4，0），则点B的坐标为 　 　．
16．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则　 　．
三．解答题（共8小题）
17．圆的内接正五边形，已知圆的半径为r，求五边形的周长．（含有cos54°的式子表示）
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．
（1）求证：；
（2）求的度数．
19．如图，正△ABC外接圆的半径为2，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积．
20．如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．
求正方形ABCD的边长和边心距．
21．如图，若四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
22．已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6．
23．（1）解方程：2x2﹣5x﹣7＝0．
（2）如图，等边△ABC的边长为2cm，求BC边上的边心距OD的长．
24．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点，连接BP交AC于点E．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
3.8 圆内接正多边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据正六边形和圆的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，国点O作OH⊥AB，垂足为H，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠ABC＝∠DEF＝120°，OA＝OB＝AB＝2，
∴OHOA，
∴S阴影部分＝S正六边形ABCDEF﹣2S扇形BAC
262
＝6．
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正多边形和圆的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
2．【答案】B
【分析】根据正多边形的中心角计算即可．
【解答】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：72°，
∴n＝5，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角．
3．【答案】C
【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，
多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：9，
∴∠AOB，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
∴∠OAD30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．
4．【答案】D
【分析】设⊙O的半径为r，如图1所示，连接OD，过O作OM⊥DF于M，根据三角函数的定义得到DF＝2DMr；求得正三角形周长为C1为3r；如图2所示，连接OE、OC，过O作ON⊥CE于N，根据等腰直角三角形的性质得到2CN2＝OC2，即CNr，求得正方形周长为C2为4r；如图3所示，连接OA、OB，过O作OP⊥AB于P，得到△OAB是等边三角形，求得AP＝OA cos60°r，得到正六边形周长为C3为6r，于是得到结论．
【解答】解：设⊙O的半径为r，
如图1所示，
在正三角形ADF中，连接OD，过O作OM⊥DF于M，
则∠ODF＝30°，DM＝OD cos30°r，
故DF＝2DMr；
∴正三角形周长C1为3r；
如图2所示，
在正方形ACEG中，连接OE、OC，过O作ON⊥CE于N，
则△OCE是等腰直角三角形，
2CN2＝OC2，即CNr，
故CEr；
∴正方形周长C2为4r；
如图3所示，
在六边形ABDEFH中，连接OA、OB，过O作OP⊥AB于P，则△OAB是等边三角形，
故AP＝OA cos60°r，
∴AB＝2AP＝r，
∴正六边形周长C3为6r，
∴C1：C2：C3为3r：4r：6r＝3：4：6．
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形与圆，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．【答案】A
【分析】根据线段中点的定义，两点间的距离，正六边形的定义，直线的表示方法判断即可．
【解答】解：①如果点A，B，C在同一条直线时，且AC＝BC，则点C是线段AB的中点，故不符合题意．
②两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，故不符合题意．
③六条边都相等且每个内角都相等的六边形是正六边形，故不符合题意．
④直线AB和直线BA表示同一条直线，故符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形和圆，两点间的距离，熟练掌握各定义是解题的关键．
6．【答案】D
【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠MAD的度数即可求解．
【解答】解：连接OB，AD，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴AD为外接圆的直径，
∴∠AOB60°，
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠MAD＝90°，
∴∠MAB＝∠ADB＝30°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
7．【答案】C
【分析】连接OC，OD，根据正五边形的性质得出∠COD的度数，从而得出∠CFD的度数，再根据三角形内角和定理得出∠FDC的度数即可求解．
【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD72°，
∴∠CFD∠COD＝36°，
∵∠FCD＝70°，
∴∠FDC＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣36°﹣70°＝74°．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出∠COD的度数是解题的关键．
8．【答案】A
【分析】取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，想办法求出FK，CK，根据CF≥CK﹣FK即可解决问题．
【解答】解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∵AK＝BK，
∴KF＝AK＝BK，
∵正方形ABCD的外接圆的半径为，
∴AB＝BC2，
∴KF＝AK＝KB＝1，
∵∠CBK＝90°，
∴CK，
∵CF≥CK﹣KF，
∴CF1，
∴CF的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
9．【答案】D
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵正六边形的边长为6cm，
∴六边形ABCDEF是半径为6的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6cm，∠OAB＝60°，
∴OG＝OA sin60°＝63（cm），
∴边长为6cm的正六边形的内切圆的半径为3cm．
该正六边形的内切圆面积为cm2
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、等边三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10．【答案】D
【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出外接圆半径．
【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴中心角是：90°，
正方形的外接圆半径是：sin∠AOC，
∵AC1，∠AOC＝45°，
∴OA2，
∴正方形外接圆的直径是2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，正多边形与圆，关键是运用正方形的性质，以及与外接圆的关系解答．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】9．
【分析】当NP＝NM时，如图，此时点P是CD的中点，即CP＝DP＝3，延长AB、DC交于点Q，证明△QBC是正三角形，得出QC＝QB＝BC＝6，证出△QMP是正三角形，则可得出答案．
【解答】解：当NP＝NM时，如图，此时点P是CD的中点，即CP＝DP＝3，延长AB、DC交于点Q，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝6，∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠QBC＝∠QCB＝180°﹣120°＝60°，
∴△QBC是正三角形，
∴QC＝QB＝BC＝6，
又∵M是正六边形ABCDEF的边AB的中点，
∴BM＝3＝CP，
∴QM＝QP＝6+3＝9，
∵∠Q＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△QMP是正三角形，
∴PM＝QM＝9，
【点评】本题考查正六边形与圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
12．【答案】．
【分析】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为2的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．
【解答】解：由题意得，∠AOB60°，
∴∠AOC＝30°，
∴OC＝2 cos30°＝2，
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形和圆，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
13．【答案】．
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，求得OH的长，根据S正六边形ABCDEF＝6S△OAB即可求得正六边形ABCDEF的面积．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB＝3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝3，∠AOH＝30°，
∴OH＝OA cos30°＝3，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝63．
故答案为：．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
14．【答案】．
【分析】首先证明点F的运动轨迹是BC为直径的⊙O'，连接AO'交⊙O'于点M，求出AF的最小值即可．
【解答】解：如图，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴点F的运动轨迹是BC为直径的⊙O'，连接AO'交⊙O'于点M，
在Rt△ABO'中，，
∴，
∴当点E从点A出发按顺时针方向运动到点D时，AF的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正多边形与圆，点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，属于中考常考题型．
15．【答案】．
【分析】先根据正六边形得到AB＝OA＝4，∠BAF＝60°，然后再Rt△ABF中利用勾勾股定理计算．
【解答】解：过点B作BF⊥x轴于点F，
∵正六边形OABCDE，点A的坐标为（4，0）
∴AB＝OA＝4，，
∴∠ABF＝30°，
∴，
∴，OF＝OA+AF＝4+2＝6，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形，图形和坐标，勾股定理，利用勾股定理计算是解题的关键．
16．【答案】2．
【分析】根据圆内接正六边形的性质可用半径r表示正六边形的面积S1，再根据圆内接正三角形的性质可用半径r表示正三角形的面积S2，最后再计算的值即可．
【解答】解：如图，连接OC，OD，OE，OD交CE于点M，过点O作ON⊥CD于点N，设⊙O的半径为r，则OC＝OD＝OE＝r，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠COD60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是正三角形，
∴CD＝OC＝OD＝r，
∵ON⊥CD，
∴CN＝DNCDr，
∴ONr，
∴正六边形ABCDEF的面积为S1＝6S△COD＝6rrr2；
由题意可知，△ACE是⊙O的内接正三角形，
∴∠COM＝60°，
∴OMOCr，CMOCr，
∴CE＝2CMr，
∴△ACE的面积为S2＝3S△OCE＝3rrr2；
∴2．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握圆内接正六边形，圆内接正三角形的性质是正确解答的前提．
三．解答题（共8小题）
17．【答案】10rcos54°．
【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，根据正五边形的性质求出∠AOB，进而求出∠OAB，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，
由题意得：∠AOB72°，
∵OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠OAB＝∠OBA54°，AH＝BH，
在Rt△OAH中，OA＝r，∠OAB＝54°，
∴AH＝OA cos∠OAB＝r cos54°，
∴AB＝2r cos54°，
∴五边形的周长为10rcos54°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的性质、解直角三角形的知识是解题的关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正方形的性质得到AD＝BC，求得，由M为的中点，得到，于是得到结论；
（2）连接OM，OA，OB，求得∠AOB＝90°，求得∠AOM＝∠BOM（360°﹣90°）＝135°，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接OM，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM（360°﹣90°）＝135°，
∴的度数是135°．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．【答案】正△ABC的边长为2，边心距为1，周长为6，面积为3．
【分析】连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD＝CDBC，∠OBD＝30°，求出OD，根据勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：连接OB，OA，延长AO交BC于D，
∵正△ABC外接圆是⊙O，
∴AD⊥BC，BD＝CDBC，∠OBD∠ABC60°＝30°，
即边心距ODOB2＝1，
由勾股定理得：BD，
即三角形边长为BC＝2BD＝2，AD＝AO+OD＝2+1＝3，
则△ABC的周长是3BC＝3×26；
则△ABC的面积是BC×AD23＝3．
【点评】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
20．【答案】正方形ABCD的边长为，边心距为．
【分析】过点O作OE⊥BC，垂足为E．解直角三角形求出BC，OE即可．
【解答】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．
∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，
∴∠BOC90°，∠OBC＝45°，OB＝6，
∴BE＝OE．
在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得
OE＝BE，
∴BC＝2BE．
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．
【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．
21．【答案】4π﹣8．
【分析】连接AC，BD交于点O，阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，BD交于点O，如图：
∵四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形，
∴点O是圆心，OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，
∴⊙O的面积为：π OD2＝4π，
正方形ABCD的面积为：，
∴阴影部分的面积为：4π﹣8．
【点评】本题考查圆与正多边形，解题的关键是掌握圆内接正方形对角线的交点为圆的圆心．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△ABO求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝6cm，即R＝6cm，
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB，
∴AGAB6＝3cm，
∴在Rt△AOG中，r6＝OG3cm，
∴S66×6×354cm2．
【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．【答案】（1），x2＝﹣1；
（2）．
【分析】（1）直接利用因式分解的方法解方程即可；
（2）连接OB，OC，证明∠BOD＝∠COD＝60°，BD＝CD＝1，再结合锐角三角函数解答即可．
【解答】解：（1）2x2﹣5x﹣7＝0，
∴（2x﹣7）（x+1）＝0，
∴2x﹣7＝0或x+1＝0，
解得：，x2＝﹣1；
（2）如图，连接OB，OC，
∴OB＝OC，∠BOC＝120°，
∵OD为边心距，则OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，BD＝CD＝1cm，
∴ODcm．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，正多边形与圆，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
24．【答案】（1）见解析；
（2）2．
【分析】（1）连接DE，由是正方形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝OC，由等腰直角三角形的性质得到EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，∠EBD＝∠EDB，
由圆周角的性质得到∠POD∠ABD＝22.5°，进而得到∠EDC＝67.5°，∠CED＝67.5°，根据等腰三角形的判定即可得到CE＝CD；
（2）根据正方形的性质和圆周角定理及角平分线的性质证得∠1＝∠2＝∠PDE，由三角形内角和定理求出∠2＝30°，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理得到DE＝2OE，ODOE，进而得到OD＝OAOE，AE＝（1）OE，EC＝（1）OE，代入即可得到结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD∠ABD∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝∠CDO+∠ODE＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，DE＝DE，
∴Rt△PDE≌Rt△ODE（HL），
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OEDE，
∴DE＝2OE，
∴ODOE，
∴，
∴OD＝OAOE，
∴AE＝OA﹣OE＝（1）OE，EC＝OE+OC＝（1）OE，
∴2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，正方形和圆，圆周角定理，角平分线的判定，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线，证得EA＝ED，是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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