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3.9 弧长及扇形的面积
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
2．如图，将△ABC绕着点B逆时针旋转60°后得到△A′BC′，若BC＝3，则的长度为（　　）
A．3 B．π C． D．
3．一个扇形，如果半径缩小2倍，圆心角扩大2倍，那么扇形的面积（　　）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．缩小4倍 D．不变
4．已知一个扇形的圆心角为100°，半径是6，则这个扇形的面积是（　　）
A．15π B．10π C．5π D．2.5π
5．当圆的半径是R时，90°的圆心角所对的弧长是l，若该圆的半径增加2，则90°的圆心角所对的弧长是（　　）
A．l+π B．l+4π C．l+2 D．l+4
6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD⊥OB，OE＝BE，，则劣弧AC的长为（　　）
A．12π B．4π C．3π D．
7．如图，折扇的骨柄AB的长为25cm，折扇张开的∠BAC为164°，图中的长为（　　）
A．cm B．22πcm C．cm D．23πcm
8．一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的弧长之和为（　　）cm．
A．π B． C． D．
10．如图，A，B是⊙O上的两点，OA⊥OB，半径OA＝3，C为⊙O外一点，连接AC，BC交⊙O于D，E两点，若∠ACB＝30°，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．扇形的弧长为4π，弧所对的圆心角为80°，则此扇形的半径为 　 　．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，一个半径为1的圆的圆心落在点A处，若此圆从点A出发沿着正方形的边AB滑动，当圆心第一次到达点B时，滑动停止，滑动过程中被该圆覆盖的面积是 　 　（结果保留π）
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为　 　．
14．小明制作了如图所示的三角形标靶，其中△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D为AB的中点，AB＝4．现以C为圆心、CD长为半径画弧，交CA于点E，则图中扇形CED的面积是 　 　．
15．如图正方形的边长为4，分别以正方形的两条边为直径画弧，并连接对角线，则图中阴影部分的面积是 　 　（结果保留π）．
16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝6，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧BE，AD⊥BC于点D，BE分别交AD，AC于F，G．
（1）求证：FA＝FB；
（2）若D为BO的中点，且半径r＝4，求阴影部分面积．
18．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点．求∠CAD的度数及弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S．
19．一张圆形纸片，直径为10cm（π取3.14）．
（1）对折再对折后，得到一个新的图形（图3），计算这个新图形的周长；
（2）在此圆的内部作直径为8cm的圆，求两圆之间部分的面积．
20．如图，这是一张以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，使点B落在⊙O上的点D处，连接AD，CB，CD，CD与直径AB交于点E，连接OD，AC，且OD∥AC．
（1）求证：四边形ACOD是菱形．
（2）若，求扇形AOC的面积．
21．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若PC是直径，OC＝2，求阴影部分面积．
22．小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成的大长方形，小长方形的长和宽的比为3：2，已知小长方形的长为a．
（1）求这个窗户的面积和窗户外框的总长；
（2）小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的．求窗户中能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）．
23．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：
（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 　 　；
（2）求出扇形DAC的面积．
24．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，求贴纸部分的面积（纸扇有两面，结果精确到0.1cm2）．
25．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连结BC．
（1）若AE＝CD＝4，求AB的长；
（2）若∠BCD＝36°，OB＝6，求的长度．
3.9 弧长及扇形的面积
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：π，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
2．【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得∠CBC′＝60°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵∠CBC′＝60°，BC＝3，
∴的长度为π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式和旋转的性质，熟练掌握弧长公式是关键．
3．【答案】B
【分析】根据题意可以分别表示出原来和后来扇形的面积，从而可以计算出这个扇形的面积扩大的倍数．
【解答】解：设原来扇形的圆心角为α，半径为r，
则原来扇形的面积为：，
后来扇形的圆心角为2α，半径为，
则后来扇形的面积为：，
∴扇形的面积缩小2倍．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，熟记扇形的面积公式是解答本题的关键．
4．【答案】B
【分析】直接利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：根据题意，扇形的圆心角为100°，半径为6，
则该扇形的面积为S10π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答本题的关键．
5．【答案】A
【分析】利用弧长的计算公式计算即可．
【解答】解：∵lπR，
∴πR+π＝l+π．
故选：A．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是关键．
6．【答案】B
【分析】根据CD⊥OB，得CECD＝3，根据OE＝BE，得OC＝2OE，∠C＝30°，所以∠COA＝120°，根据sin∠COE＝sin60°，求出OC＝6，根据弧长公式即可求出答案．
【解答】解：∵CD⊥OB，
∴CECD＝3，
∵OE＝BE，
∴OC＝2OE，
∴∠C＝30°，
∴∠COE＝60°，
∴∠COA＝120°，
∵sin∠COE＝sin60°，
∴OC＝6，
∴劣弧AC的长为4π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算，垂径定理和解直角三角形，正确求出∠COA＝120°，OC＝6是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：∵折扇的骨柄AB的长为25cm，折扇张开的∠BAC为164°，
∴的长为π（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可．
【解答】解：设这条弧所在圆的半径为r，
则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为2πr，
：2πr．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键．
9．【答案】B
【分析】三个扇形的半径都是0.5cm，根据扇形的弧长公式l，因而三个扇形的弧长的和就是：三个圆心角的和，而三个圆心角的和是180°，故弧长之和即为圆心角为180°，半径为0.5cm半圆的弧长．
【解答】解：图中的三个扇形弧长的和为πrcm．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式：三个扇形的弧长的和就是：三个圆心角的和×πr÷180是解决本题的关键．
10．【答案】C
【分析】连接AB，OD，OE．求出∠DOE＝30°，再利用弧长公式求解．
【解答】解：连接AB，OD，OE．
∵AO⊥OB，OA＝OB，
∴∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAC+∠OBC＝150°﹣45°﹣45°＝60°，
∵OA＝OD，OB＝OE，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOD+∠BOE＝360°﹣2×60°＝240°，
∴∠DOE＝360°﹣240°﹣90°＝30°，
∴的长．
故选：C．
【点评】本题考查弧长公式，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】9．
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：由弧长公式可得，
4π，
解得R＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的关键．
12．【答案】8+π．
【分析】滑动过程中被该圆覆盖的面积＝长是4，宽是2的长方形的面积+圆的面积，由此即可计算．
【解答】解：∵滑动过程中被该圆覆盖的面积＝长是4，宽是2的长方形的面积+圆的面积，
∴滑动过程中被该圆覆盖的面积＝4×2+π×12＝8+π．
故答案为：8+π．
【点评】本题考查圆、长方形的面积，关键是由题意得到滑动过程中被该圆覆盖的面积＝长是4，宽是2的长方形的面积+圆的面积．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，
∴BF＝BG＝2，
∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2，
∴S1﹣S2＝4×312，
故答案为：12．
【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．【答案】．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得出CD的长，再求出∠ECD的度数即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，且D为斜边AB的中点，
∴CD．
∵CD＝AD＝2，
∴∠ECD＝∠A＝30°．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及扇形的面积公式是解题的关键．
15．【答案】4π﹣8．
【分析】根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵正方形的边长为4，
∴半径为2，
∴图中的阴影部分的面积＝2（S扇形S正方形）＝S圆S正方形＝4π4π﹣8．
故答案为：4π﹣8．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16．【答案】66﹣9π．
【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝6，
∴AB10，
由旋转的性质可知，OE＝OB＝6，DE＝EF＝AB＝10，△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝6，
阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
14×68×6
＝66﹣9π，
故答案为：66﹣9π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S和旋转的性质是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）证明见解析；（2）4π．
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）连接OA，OE，过点E作EH⊥BC于点H，利用垂直平分线的性质，圆的有关性质和等边三角形的判定与性质得到△OAB为等边三角形，利用圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理求得EH，再利用阴影部分面积＝S△OBE+S扇形EOC解答即可．
【解答】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C．
∵点A在⊙O上且平分弧BE，
∴，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴FA＝FB；
（2）解：连接OA，OE，如图，
∵AD⊥BC，D为BO的中点，
∴AD为OB的垂直平分线，
∴AB＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝∠BAO＝60°．
∴∠BADBAO＝30°，
∴∠ABE＝∠BAD＝30°，
∴∠EBO＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
∴∠EOC＝2∠EBO＝60°．
过点E作EH⊥BC于点H，则OHOE＝2，
∴EH2．
∴阴影部分面积＝S△OBE+S扇形EOC
OB EH
4
＝4π．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关计算，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，∠COD＝60°，得出∠CAD的度数为：30°，进而得出△CDO是等边三角形，故阴影部分的面积等于扇形OCD的面积．
【解答】解：连接CO、OD，CD，
∵C、D是这个半圆的三等分点，
∴CD∥AB，∠COD＝60°，
∴∠CAD的度数为：30°，
∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，CD＝OCAB＝6，
∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形OCDπ×62＝6πcm2．
答：阴影部分的面积S是6πcm2．
【点评】本题主要考查了扇形面积公式应用，关键是判断出△OCD与△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等边三角形，利用扇形的面积公式求解．
19．【答案】（1）17.85cm；（2）28.26cm2．
【分析】（1）新图形为的圆，其周长等于圆弧长加上两个半径；
（2）两圆之间部分是一个圆环，其面积为大圆面积减小圆面积．
【解答】解：（1）新图形的周长为：πd+2r3.14×10+10＝17.85 （cm）；
（2）两圆之间部分的面积为：3.14×（52﹣42）＝3.14×9＝28.26 （cm2）；
故答案为：（1）17.85cm；（2）28.26cm2．
【点评】本题考查的是圆的折叠问题的相关内容，解题关键在于理解折叠前与折叠后图形的变化、以及长度的对应关系，列式计算即可．
20．【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）根据圆周角定理可得AD⊥BD，由对称的性质可得CO⊥BD，进而得到CO∥AD，得出四边形ACOD是平行四边形，进而得出四边形ACOD是菱形；
（2）证得△AOC是等边三角形，即可求出∠ABC的度数，由特殊锐角三角函数值可求出AB，从而求得OA，利用扇形面积公式即可求得．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，由轴对称可知，直线CO是线段BD的垂直平分线，
即CO⊥BD，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BD，
∴CO∥AD，
又∵OD∥AC，
∴四边形ACOD是平行四边形，
∵OD＝OC，
∴四边形ACOD是菱形，
（2）解：∵四边形ACOD是菱形，
∴AC＝AD＝OC＝OD，
∵OC＝OD＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
在Rt△ACB中，∠OAC＝60°，BC＝4，
∴AB8，
∴OA＝4，
∴扇形AOC的面积．
【点评】本题考查扇形的面积，轴对称，圆周角定理．菱形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，掌握圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
21．【答案】（1）详见解答；
（2）．
【分析】（1）根据圆周角定理以及等边三角形的判定即可得出结论；
（2）求出扇形OBC的所在圆的半径以及圆心角度数，再根据扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，而∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠CAB，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）如图，连接OB，则S△BOCS△PBC，
∵PC是⊙O的直径，
∴∠PBC＝90°
∵∠BPC＝60°，OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
在Rt△PBC中，PC＝2OC＝4，∠BPC＝60°，
∴PBPC＝2，BCPC＝2，
∴S阴影部分＝S扇形OBC﹣S△BOC
＝S扇形OBCS△BPC
2×2
．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，圆周角定理，等边三角形的判定方法是正确解答的关键．
22．【答案】（1）这个窗户的面积为，窗户外框的总长为；
（2）这个窗户能射进阳光部分的面积为．
【分析】（1）求出小长方形的宽，再根据面积、外框周长的定义进行计算即可；
（2）求出除装饰物所占的面积，再计算能射进阳光部分的面积即可．
【解答】解：（1）由于小长方形的长和宽的比为3：2，小长方形的长为a，则宽为，
所以这个窗户的面积为πa2+2a；
这个窗户外框的总长；2a42πa，
答：这个窗户的面积为，窗户外框的总长为；
（2）这个窗户能射进阳光部分的面积为πa2×（1）+2a2，
答：这个窗户能射进阳光部分的面积为．
【点评】本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，掌握扇形面积的计算方法，矩形面积、周长的计算方法是正确解答的关键．
23．【答案】（1）（2，1）；
（2）π．
【分析】（1）根据网格和正方形的性质，分别作出AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点D的坐标；
（2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出∠ADC＝90°以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）根据网格作AB，BC的中垂线PQ，MN，直线PQ，MN相交于点D，连接AD，CD，AC，则点D（2，1），
故答案为：（2，1）；
（2）由网格构造直角三角形，由勾股定理得，
AC2＝12+52＝26，AD2＝CD2＝22+32＝13，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴扇形DAC的面积为π．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】扇形面积公式S可计算出两个扇形的面积，然后相减即可得．
【解答】解：S837.33（cm2）．
837.33×2＝1674.7（cm2）．
答：贴纸部分的面积为1674.7cm2．
【点评】主要考查了扇环的面积求法．一般情况下是让大扇形的面积减去小扇形的面积求扇环面积．
25．【答案】（1）5；
（2）π．
【分析】（1）连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列出方程，解方程求出r，进而求出AB；
（2）根据圆周角定理求出∠BOC，根据弧长公式该计算，得到答案．
【解答】解：（1）连接OC，
设⊙O的半径为r，则OE＝4﹣r，
∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴CECD＝2，
在Rt△OEC中，OE2+CE2＝OC2，即（4﹣r）2+22＝r2，
解得：r，
∴AB＝2r＝5；
（2）∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴∠BOC＝2∠BCD＝72°，
∴的长为：π．
【点评】本题考查的是垂径定理、弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定理、弧长公式是解题的关键．
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