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2024-2025学年河南省信阳高级中学新校贤岭校区高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，若与共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知直线平面，点，那么过点且垂直于直线的直线( )
A. 只有一条，且在内 B. 有无数条，一定在内
C. 只有一条，不在内 D. 有无数条，不一定在内
4.下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是( )
A. B. C. D.
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是( )
A. 与为互斥事件 B.
C. 与为相互独立事件 D. 与互为对立事件
6.记，，为的内角，，的对边，则“为直角三角形”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知实数，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于向量，，，实数，下列判断不正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，且，则
C. 若，且，则的充要条件是
D. 若，且，则对任意实数，都有
10.已知非零复数，，其中为纯虚数，则( )
A. 若，则为纯虚数
B. 若与互为共轭复数，则
C. 若，且为纯虚数，则
D. 若，则的虚部为
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过，，三点作正方体截面，则( )
A. 三棱锥的外接球表面积为
B. 动点的轨迹是一条线段
C. 三棱锥的体积是定值
D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算 ______．
13.现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时______分钟．
14.已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从，，，，中任取两个不同的数，分别记为，．
求为偶数的概率；
求为整数的概率．
16.本小题分
在中，，，所对的边分别为，，，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角．
若，求的大小；
求的最小值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，且为正三角形，，为的中点．
求证：直线平面；
求证：平面平面；
求与平面所成的角的正切值．
18.本小题分
某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题．
若根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅保留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？四舍五入精确到分
从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取名同学，再从这名同学中随机选出人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；
某老师在此次竞赛成绩中抽取了名同学的分数：，，，，，已知这个分数的平均数，方差，若剔除其中的最高分和最低分，求剩余个分数的平均数与方差．
19.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.记样本空间为，事件“为偶数”，
则，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
共包含个样本点．
则，，，，
，，，，
包含个样本点，
则为偶数的概率为．
设事件“为整数”，
由得样本空间共包含个样本点，
因为，，，
所以，，，包含个样本点，
则为整数的概率为．
16.解：由余弦定理可得，可得，
再由正弦定理可得，，
所以，
在三角形中，可得，而，
可得；
由可得，
在三角形中，可得或，
即，即，可得，与角不是直角矛盾，
或，可得，
所以，当且仅当时取等号，即时取等号，
所以的最小值为．
17.证明；设，连接，
因为在三棱柱中，底面，且为正三角形，
所以三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形，
所以为的中点，又为的中点，
所以在中有，
因为平面，平面，
所以平面；
连接，
因为底面，平面，所以，
又因为为正三角形，为的中点，所以，
又因为，又因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
由可知平面，
所以即为在平面内的射影，
所以即为与平面所成的角，
因为三棱柱为正三棱柱，且，
所以，，
所以．
18.解：根据题意可得，，
又，，
前几组的频率依次为，，，
第百分位数为，
晋级分数线划为分合理；
由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取人和人，分别记为，，，和，，
则从这名同学中随机选出人的样本空间为：
，共个样本点，
设“抽到的两位同学来自不同小组”，
则，共个样本点，
；
，，
，
，
设剔除其中的和两数剩余个数：，，，，的平均数与标准差分别为，
则剩余个分数的平均数为：，
方差为：．
19.解：
，
令，解得，
故的单调递增区间为；
由知，
则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
令，
因为，则，且，
因为，则函数在上单调递减，
由，解得，
则的最大值为，故，
则实数的取值范围为；
令，
，，
令，又，
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，的图象与直线共有个交点，即，
则，
因，
所以．
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