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2024-2025学年辽宁省沈阳市郊联体高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 样本中心不一定在回归直线上
B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于
C. 若所有样本点都在直线上，则
D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则
3.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是是自然对数的底数
A.
B.
C.
D.
4.已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则“”是“是奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若，，，且，，，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，则( )
A. 数列是等差数列
B.
C. 若，则
D.
10.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. 若恒成立，则的最小值为
11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. 当时，
B. 函数有个零点
C. 函数过点的切线方程为
D. ，，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，都有”是假命题，则实数的取值范围为______．
13.已知函数的图象经过点，则不等式的解集为______．
14.已知函数，若方程有个不同的实数根，，，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若函数的图象在点处的切线方程是，求和；
求函数的单调区间．
16.本小题分
已知数列是首项为的等比数列，且是和的等差中项．
求数列的通项公式；
在；；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答记_____，求数列的前项和．
17.本小题分
某企业有甲、乙两个车间生产某款产品，今年前个月两个车间的产量单位：万件统计如表，设月份为，甲、乙两个车间的月产量之和为．
月份
甲车间产量
乙车间产量
Ⅰ求；
Ⅱ求与的相关系数精确到，并判断与的线性相关程度强弱；
Ⅲ从甲、乙两个车间生产的产品中各随机抽取件，其中优等品和一等品的数量如表所示，根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两车间的优等品率有差异？
甲车间 乙车间
优等品
一等品
参考数据：，．
参考公式：相关系数；
．
18.本小题分
已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有．
求的值；
求证：在上为增函数；
若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求的解析式；
若在内有两个零点，求的取值范围；
若对任意的，不等式恒成立，求整数的值组成的集合．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由函数，可得，则且，
因为函数的图象在点处的切线方程是，
可得，解得，．
由函数的定义域为，且，
令，即，即，可得；
令，即，即，可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
16.设数列的公比为，
由，是和的等差中项，可知，
即，得，
所以；
若选，，，
所以，
则；
若选，，
数列的前项和是，
当时，数列的每一项都是非正数，所以，
当时，数列的每一项都是正数，
所以，
所以；
如选择，则，
．
17.Ⅰ因为，
故．
Ⅱ由题设的数据可得
，
故与具有较强的线性相关关系．
Ⅲ完善列联表如下：
甲车间 乙车间 合计
优等品
一等品
零假设为：
甲、乙两车间的优等品率无差异，
则，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明不成立，
即认为甲、乙两车间的优等品率无差异．
18.由，
故此令，则，
解得；
证明：设，是上任意两个实数，且，
令，，
则，
所以，
由，得，
所以，
故，
即，
所以函数为上的单调递增函数；
因为，
所以，
所以，
即为，
故，
因为，所以，
所以，
由可知在上为单调递增函数，
所以，即，
当时，可得恒成立，
令，
由对勾函数性质可得在上单调递增，
所以，
所以，解得．
综上，．
19.由题意可得，
则，
解得，所以．
由得，，
，由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，
要使在内有两个零点，只需，即，
解得，
所以实数的取值范围为．
对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，
当时，，显然成立，此时；
当时，恒成立，令，此时，
，令，则，
函数在上单调递增，又，，
由零点存在定理得存在，使得，即，
由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，且，则，
当时，恒成立，令，
则，而当时，恒成立，
由得；由得，在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，取得最小值，则；
于是实数的取值范围为，所以整数的值组成的集合为．
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