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2024-2025学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知正项等比数列，，则( )
A. B. C. D.
2.已知与之间的一组数据：
若与满足回归方程，则( )
A. B. C. D.
3.在正方体中，为底面的中心，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
4.小明在注册某账号的密码时，想在，，，，中组成无重复的五位字符的密码，要求与相邻，则可以设置不同的密码的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
7.已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，，与底面所成角为，，则到平面的距离是( )
A. B. C. D.
8.袋子中有张元纸币和张元纸币，袋子中有张元纸币现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从两个袋子中各取出几张纸币，则从中取出的纸币的面值之和大于从中取出的纸币的面值之和的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设某车床生产的零件长度为随机变量，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列的第项为
C. 数列的前项和 D. 的最大值为
11.已知棱长为的正方体，动点满足，下列结论正确的是( )
A. 正方体棱上满足条件的的个数为
B. 正方体棱上满足条件的所在的平面去截正方体，截面面积为
C. 正方体棱上满足条件的所在的平面去截正方体，被截去较小部分的体积为
D. 点到正方体各顶点距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数是______用数学填写答案．
13.已知，恒成立，则的取值范围是______．
14.在一个数字转换程序中，，分别输入正整数，，经该转换程序处理后输出的数值为，该程序运行满足以下个条件：
；；．
若输入，且输出的数值为，则输入的正整数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间及最值；
设，讨论在区间上的零点个数．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，等比数列的前项和为，且．
求数列和的通项公式；
令，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在正方体中，，分别是棱，上的动点．
设，分别为、的中点证明：平面；
设．
证明：；
当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查名市民，得到如下数据：
单位：人
性别 商场购物意愿 合计
喜欢在商场购物 不喜欢商场购物
男性
女性
合计
根据小概率值的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联．
采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人中男性人数的分布列和期望．
某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有个红球、个白球、个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取个球规则如下：每摸中次红球，奖励元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多时，抽奖结束，否则抽奖继续记甲在次摸球后抽奖结束且获奖元购物券的概率为，求当取最大值时的值．
附：．
临界值表：
19.本小题分
已知．
若为偶函数，求的值；
若在区间内有两个不同的极值点，，求证：；
当时，定义复数，，为虚数单位，记，求证：对任意，复数的模均满足．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.导函数，令，解得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
因此当时，函数取最小值为，没有最大值．
因此函数单调递增区间为，单调递减区间为，
且没有最大值，最小值为．
，由，可知在上递增，而，．
根据的不同取值，分情况讨论：
当时，对于，由于，则恒成立，故没有零点．
当时，由，即恒成立，故没有零点；
当时，由的单调性，可知存在唯一，使，
故有唯一零点．
综上，当时，在上没有零点；
当时，在上有个零点．
16.由等差数列的前项和为，且，
可得，即，又，即，解得．
所以．
在等比数列中，当时，由，可得，
相减可得，得，
当时，，解得，，
所以．
因为，
所以，
，
得
，
解得，
所以．
17.证明：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，
则，，，，
所以，，
则，所以，
又平面，平面，
所以平面．
证明：设，则，，
所以，，，
所以．
(ⅱ)在正方体中，，
若三棱锥的体积取得最大值，
则取得最大值，又．
，
当且仅当时，即时取等号，即，分别是棱，上中点，
由，，，
得，，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，，，
则，，．
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.假设零假设：性别与商场购物意愿无关，
将题干数据代入公式可以得到：，
所以根据小概率值的独立性检验，推断性别与商场购物意愿有关；
因为调查数据中男性人数：女性人数：，
所以抽取的人中人是男性，人是女性，
所以随机变量的可能取值为，，，
，，，
所以的分布列如下：
将表格数据代入期望公式可以得到：；
由题干信息易知，甲共抽中次红球，并且第次摸到红球，前次抽到次黄球、次红球，
且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，
则“次摸球后抽奖结束且甲获奖元购物券”的概率，，
于是，
因为，所以上式小于，故，
即单调递减，则当时，取最大值．
19.易知函数的定义域为，关于原点对称．
由为偶函数，可得，
即，
可得，故．
证明：由题意，，
若在区间内有两个不同的极值点，，
则，满足，，．
若，有一者为，
不妨设，则，矛盾，则，均不为，
那么．
令，，
则，
且
则当时，，且，
则，故在上递增．
由于，不相等，则，，故，，从而．
证明：当时，．
记，，
则，于是，
且，
因此
．
由，
可得
．
因且，则．
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