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2024-2025学年云南省临沧市部分学校高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数的模为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.曲线在处的切线斜率为，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，是平面中四个不同的点，则“”是“，，三点共线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.记为等比数列的前项和若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若数据，，和数据，，的平均数均为，方差均为，则数据，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是偶函数
C. 的图象关于直线轴对称 D. 在上单调递增
10.若随机变量，，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知为坐标原点，点在曲线：上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线关于轴对称 B.
C. D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为______．
14.如图，在四面体中，，，，平面平面，则四面体外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线：的焦点为，为上一点，且．
求；
若点在椭圆上，且直线与椭圆相切，求椭圆的标准方程．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求；
若为钝角三角形，求面积的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，为正三角形，，，．
证明：底面．
过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积．
求二面角的正弦值．
18.本小题分
小明参加答题闯关游戏，需要从，两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序答对第一题和第二题获得的奖励分别为元和元已知小明答对，两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立．
规定无论是否答对第一题，都可以答下一题已知小明第一题选择题库的题目作答的概率为．
求小明恰好获得元奖金的概率；
求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率．
若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？
19.本小题分
证明：当时，．
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为为上一点，且，
所以，
解得；
由得，
所以直线的斜率，
则直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，化简得，
因为点在椭圆上，
所以，
联立，
解得，．
则椭圆的标准方程为．
16.因为，所以，即A.
因为，，所以，及，所以．
因为，，
所以由余弦定理得：，
所以；
因为，，所以．
由正弦定理得：
，
因为为钝角三角形，所以或，
即或，所以，
所以，
所以．
所以面积的取值范围是．
17.证明：由，，
可得，即，
又，，为正三角形，所以，
则有，即，
又，，平面，
所以底面；
解：点在中点，理由如下：
因为底面，底面，所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又为中点，，所以，
又，，平面，
所以平面，故点在中点，
因为，，，所以，
因为底面，
所以，
即四面体的体积为；
解：设中点为，连接，，
因为，所以，
即，，
因为底面，故以为原点，
建立如图所示空间直角坐标系，
由题意得：，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
不妨取，则，，则，
设平面的一个法向量，
则由，，可得，
不妨取，则，，则，
则，
所以，
即二面角的正弦值为．
18.因为答对第一题和第二题获得的奖励分别为元和元，
小明答对，两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立，
若规定无论是否答对第一题，都可以答下一题，小明第一题选择题库的题目作答的概率为，
设小明第一题选择题库概率为，
则第一题选择题库概率为，
当第一题选A库且答对，第二题选B库且答错，
其概率为，
当第一题选B库且答对，第二题选A库且答错，
其概率为，
则小明恰好获得元奖金的概率；
若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且，，
所以，
，
综上所述，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率；
设第一题答错元，第一题答对且第二题答错元，第一、二题都答对元，结合中所设事件，
若第一题为，第二题为，
此时，，，
泽恩期望；
若第一题为，第二题为，
此时，，，
则，
因为，
所以小明最后获得奖金的数学期望最大．
则第一题选A题库中的题目．
19.证明：令，那么导函数．
令，那么导函数．
由于，，，因此，在上单调递减．
又，，
因此存在，使得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
由于，因此当时，，得证．
由于，，
因此当时，，
解得，
因此当时，不符合题意，下面证明当时符合题意．
．
由于，因此当时，．
令，，那么导函数．
根据第一问得，当时，导函数．
当时，，，因此导函数，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即得证．
综上，的取值范围为．
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