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15.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
知识点1　等边三角形的性质
1如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为( )
A.4 B.30 C.18 D.12
2(2024·泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是( )
A.45° B.39° C.29° D.21°
3(2024·辽宁中考)如图,在长方形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB=( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
4如图,在等边△ABC中,BD是边AC上的高,延长BC到点E,使CE=CD,求证:BD=DE.
知识点2　等边三角形的判定
5在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6下列关于等边三角形的说法正确的有( )
①有两个角是60°的三角形是等边三角形;
②三边相等的三角形是等边三角形;
③三个角相等的三角形是等边三角形;
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
7在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形 试证明你的结论.
8如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
9如图,在等边△ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连接DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
10如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B= °.
11将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 cm.
12如图,△ABC为等边三角形,AD是BC边上的中线,点E是AC边上一点,若△ADE是等腰三角形,则∠EDC的度数是 .
13推理能力问题情境:
综合实践课上,老师出示如下题目:如图1,△ABC和△DBC是等边三角形,点E是AB上一点,点F是BC延长线上一点,BE=CF.连接DE,DF,DE交BC于点G,试判断DE与DF的数量关系,并说明理由.
数学思考:
(1)请你解决老师提出的问题.
拓展探究:
(2)在图1的基础上,“睿智小组”提出了新的问题:如图2,连接EF,试判断△DEF的形状,并说明理由.请你解决此问题.
(3)在图2的基础上,“奋进小组”提出了新的问题:延长DC,交EF于点P,得到图3,他们认为:EG=PF.请你利用图3判断他们的说法是否正确,并说明理由.第2课时　含30°角的直角三角形的性质
知识点　含30°角的直角三角形的性质
1如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是10,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.7.5 B.5 C.10 D.5
22023年5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是( )
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
3如图,在以BC为底边的等腰△ABC中,∠A=30°,AC=8,BD⊥AC,则△ABC的面积是( )
A.12 B.16 C.20 D.24
4如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A= .
5(2025·福州质检)如图,在等边三角形ABC中,BC=4,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则EC的长为 .
练易错　当题目中无图时,图形可能存在多种情况,易忽视分类讨论.
6在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长.
7推理能力、几何直观
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2.
(1)求∠ADE的度数;
(2)△ADF是等边三角形吗 为什么
(3)求AB的长.15.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
知识点1　等边三角形的性质
1如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为(D)
A.4 B.30 C.18 D.12
2(2024·泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是(B)
A.45° B.39° C.29° D.21°
3(2024·辽宁中考)如图,在长方形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB=(C)
A.30° B.45° C.60° D.120°
4如图,在等边△ABC中,BD是边AC上的高,延长BC到点E,使CE=CD,求证:BD=DE.
【证明】∵在等边△ABC中,BD是边AC上的高,
∴∠ABD=∠CBD=30°,∠ACB=60°,
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠CED=30°,
∴∠DBC=∠CED,
∴BD=DE.
知识点2　等边三角形的判定
5在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=(A)
A.2 B.3 C.4 D.5
6下列关于等边三角形的说法正确的有(D)
①有两个角是60°的三角形是等边三角形;
②三边相等的三角形是等边三角形;
③三个角相等的三角形是等边三角形;
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
7在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形 试证明你的结论.
【解析】△APQ是等边三角形.
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC.
在△ABP与△ACQ中,
∵
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ是等边三角形.
8如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=(C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
9如图,在等边△ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连接DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是(C)
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
10如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=　30　°.
11将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为　2　cm.
12如图,△ABC为等边三角形,AD是BC边上的中线,点E是AC边上一点,若△ADE是等腰三角形,则∠EDC的度数是　15°或60°　.
13推理能力问题情境:
综合实践课上,老师出示如下题目:如图1,△ABC和△DBC是等边三角形,点E是AB上一点,点F是BC延长线上一点,BE=CF.连接DE,DF,DE交BC于点G,试判断DE与DF的数量关系,并说明理由.
数学思考:
(1)请你解决老师提出的问题.
拓展探究:
(2)在图1的基础上,“睿智小组”提出了新的问题:如图2,连接EF,试判断△DEF的形状,并说明理由.请你解决此问题.
(3)在图2的基础上,“奋进小组”提出了新的问题:延长DC,交EF于点P,得到图3,他们认为:EG=PF.请你利用图3判断他们的说法是否正确,并说明理由.
【解析】(1)DE=DF,理由如下:
∵△ABC和△DBC是等边三角形,
∴BD=DC,∠ABC=∠DBC=∠DCB=60°,
∴∠DBE=∠DCF=120°,
又∵BE=CF,
∴△BDE≌△CDF(SAS),∴DE=DF;
(2)△DEF是等边三角形,理由如下:
∵△BDE≌△CDF,
∴∠BDE=∠CDF,DE=DF,
∴∠EDF=∠BDC=60°,
∴△DEF是等边三角形;
(3)正确,理由如下:
∵△DEF是等边三角形,
∴ED=DF=EF,∠FED=∠EDF=60°,
∴∠BCD=∠EDF=60°,
∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠CFD,
∴∠EDC=∠CFD,
∴△DGF≌△EPD(ASA),
∴DG=EP,
∴DE-DG=EF-EP,
∴EG=PF.第2课时　含30°角的直角三角形的性质
知识点　含30°角的直角三角形的性质
1如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是10,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(D)
A.7.5 B.5 C.10 D.5
22023年5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是(B)
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
3如图,在以BC为底边的等腰△ABC中,∠A=30°,AC=8,BD⊥AC,则△ABC的面积是(B)
A.12 B.16 C.20 D.24
4如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A=　15°　.
5(2025·福州质检)如图,在等边三角形ABC中,BC=4,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则EC的长为 　.
练易错　当题目中无图时,图形可能存在多种情况,易忽视分类讨论.
6在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长.
【解析】∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,
∴AB=2BC=4,
∵△ABD是等边三角形,
∴AD=BD=AB=4,∠DAB=60°,
①如图所示:
∵E为AD的中点,
∴AE=AD=2,
∵∠BAC=30°,∠DAB=60°,
∴∠CAE=90°,
在△CAE和△ACB中,
∴△CAE≌△ACB(SAS),
∴CE=AB=4;
②如图所示:
∵△ABD是等边三角形,∠ACB=90°,
∴CD=CB=2,∠DAC=∠BAC=30°,∠D=60°,
∵E为AD的中点,
∴ED=AD=2,
∴ED=CD,
∴△CDE是等边三角形,
∴CE=2.
综上,CE的长为4或2.
7推理能力、几何直观
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2.
(1)求∠ADE的度数;
(2)△ADF是等边三角形吗 为什么
(3)求AB的长.
【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=30°,
∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED=×(180°-∠B)=75°,
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°;
(2)△ADF是等边三角形.
理由:∵CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,
∴DF=CF,
∵∠C=30°,∴∠FDC=∠C=30°,
∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAF=90°-∠C=60°,
∴∠ADF=60°,
即∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°,
∴△ADF是等边三角形;
(3)∵直线MF为CD的垂直平分线,
∴∠FMC=90°,
∵∠C=30°,MF=2,
∴FC=2MF=4,
∵DF=FC,∴DF=4,
∵△ADF是等边三角形,
∴AF=DF=4,
∴AC=AF+CF=4+4=8,
∵AB=AC,
∴AB=8.

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