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青岛实验高中2024—2025学年度第二学期
第四学段质量检测
高一数学试卷
2025年7月
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A B. C. D.
2. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 已知某样本容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
8. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为6cm的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的半径最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
A. 已知非零向量，，，若，，则
B. 若四边形中有，则与共线
C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
10. 粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（ ）
A. 事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件
B. 事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件
C. 白色与红色粉笔都用到概率为
D. 白色与红色粉笔至少1支用到概率为
11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的取值范围是
B. 三棱锥的体积不变
C. 平面平面
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则_______
13. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4个人物手办，小明随机购买2个盲盒（2个盲盒内人物一定不同），则恰有哪吒及其父母中的一位的概率为________.
14. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量、满足，，且.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角.
16. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：
（1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数；
（2）求频率分布直方图中的值；
（3）估计当天游客满意度分值的分位数．
17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求A；
（2）若AD为BC边上的中线，，，求的面积.
18. 如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.
（1）求证:平面MCD;
（2），求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求；
（2）若，，且点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求的最小值．
青岛实验高中2024—2025学年度第二学期
第四学段质量检测
高一数学试卷
2025年7月
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】##0.28
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）人， 人， 20人
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）.

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