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第十四章　全等三角形
一、选择题
1如图,用直尺和圆规求作一个角等于已知角的依据是( )
A.SAS B.AAS
C.SSS D.以上都不对
2如图,△ABC≌△DEC,点B,C,D在同一条直线上,且CE=1,CD=3,则BD的长是( )
A.1.5 B.2 C.4 D.6
3如图,△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,D,E在同一条直线上,若∠CAE+∠ACE+∠ADE=140°,则∠ADB的度数为( )
A.70° B.140° C.110° D.55°
4如图,OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,若PD=2,OC=3,则△POC的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5如图,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AD=5,则AC的取值范围为( )
A.3C.16如图,在平面直角坐标系中,C(4,4),点B,A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠ACB=90°,则OA+OB等于( )
A.8 B.9 C.10 D.11
二、填空题
7如图,在△ABC和△FED中,AD=FC,AB=FE,当添加 条件时,就可得到△ABC≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)
8如图,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为 .
9如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=145°,则∠EDF= .
10如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=3 cm,BC=9 cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1 cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动 s时,△BCA与点P,N,B为顶点的三角形全等.
三、解答题
11(2024·青岛中考)已知:如图,四边形ABCD,E为DC边上一点.
求作:四边形内一点P,使EP∥BC,且点P到AB,AD的距离相等.
12(2024·宜宾中考)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
13如图,已知∠C=∠E,AB=AD,∠BAD=∠CAE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠CDE=46°,求∠BAD的度数.
14新趋势·过程性学习如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC=∠AEB=90°,BE,CD相交于点O,OB=OC.
求证:∠1=∠2.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°, ∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°. ∵∠DOB=∠EOC, ∴∠B=∠C.……第一步 又∵OA=OA,OB=OC, ∴△ABO≌△ACO.……第二步 ∴∠1=∠2.……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第 步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
15如图,点E,A,B,F在同一条直线上,AD与BC交于点O,已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证:
(1)BC=AD;
(2)∠CAD=∠DBC.
【证明】(1)∵∠CAE=∠DBF,∠CAB+∠CAE=180°,∠DBF+∠DBA=180°,
∴∠CAB=∠DBA,
在△CAB和△DBA中,,
∴△CAB≌△DBA(SAS),
∴BC=AD;
(2)由(1)知△CAB≌△DBA,∴∠C=∠D,
∵∠COA=∠DOB,∠C+∠CAD+∠COA=180°,∠D+∠DOB+∠DBC=180°,
∴∠CAD=∠DBC.
16如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)求证:AB+AD=2AE.
【证明】(1)∵AC是角平分线,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL);
(2)∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠F=∠CEA=90°,
在Rt△FAC和Rt△EAC中,,
∴Rt△FAC≌Rt△EAC(HL),∴AF=AE,
由(1)知△BCE≌△DCF,∴BE=DF,
∴AB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)
=AE+BE+AE-DF=2AE.
17三个等角的顶点在同一条直线上,称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角,若为直角,则又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件,利用全等三角形解决问题.
(1)已知:如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE.
(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,将(1)中的条件改为:AB=AC,A,E,D三点都在直线m上,且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=β,其中β为任意锐角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【解析】(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)成立.
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)DE=BD+CE不成立,DE=CE-BD成立,理由如下:
∵∠DEC=∠EAC+∠C,∠BAC=∠BAD+∠EAC,∠DEC=∠BAC,
∴∠BAD=∠C,
∵∠BDF=∠DEC,
∴∠BDA=∠AEC,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AD=CE,AE=BD,
∴CE=AD=AE+DE=BD+DE,
∴DE=CE-BD.第十四章　全等三角形
一、选择题
1如图,用直尺和圆规求作一个角等于已知角的依据是(C)
A.SAS B.AAS
C.SSS D.以上都不对
2如图,△ABC≌△DEC,点B,C,D在同一条直线上,且CE=1,CD=3,则BD的长是(C)
A.1.5 B.2 C.4 D.6
3如图,△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,D,E在同一条直线上,若∠CAE+∠ACE+∠ADE=140°,则∠ADB的度数为(C)
A.70° B.140° C.110° D.55°
4如图,OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,若PD=2,OC=3,则△POC的面积为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
5如图,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AD=5,则AC的取值范围为(A)
A.3C.16如图,在平面直角坐标系中,C(4,4),点B,A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠ACB=90°,则OA+OB等于(A)
A.8 B.9 C.10 D.11
二、填空题
7如图,在△ABC和△FED中,AD=FC,AB=FE,当添加　BC=ED(答案不唯一)　条件时,就可得到△ABC≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)
8如图,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为　3　.
9如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=145°,则∠EDF=　55°　.
10如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=3 cm,BC=9 cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1 cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动　0或6或12或18　s时,△BCA与点P,N,B为顶点的三角形全等.
三、解答题
11(2024·青岛中考)已知:如图,四边形ABCD,E为DC边上一点.
求作:四边形内一点P,使EP∥BC,且点P到AB,AD的距离相等.
【解析】如图,作∠DAB的平分线AM,以E为顶点,ED为一边作∠DEN=∠C,EN交AM于P,点P即为所求.
12(2024·宜宾中考)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
【证明】∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD和△BCE中,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
13如图,已知∠C=∠E,AB=AD,∠BAD=∠CAE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠CDE=46°,求∠BAD的度数.
【解析】(1)∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中,,
∴△ABC≌△ADE(AAS);
(2)∵△ABC≌△ADE,∴∠B=∠ADE,
∴∠B=∠ADB=∠ADE,
∵∠ADB+∠ADE+∠CDE=180°,∠CDE=46°,∴∠ADB=∠ADE=67°=∠B,
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=46°.
14新趋势·过程性学习如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC=∠AEB=90°,BE,CD相交于点O,OB=OC.
求证:∠1=∠2.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°, ∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°. ∵∠DOB=∠EOC, ∴∠B=∠C.……第一步 又∵OA=OA,OB=OC, ∴△ABO≌△ACO.……第二步 ∴∠1=∠2.……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第　　　　步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
【解析】(1)小虎同学的证明过程中,第二步出现错误;
答案:二
(2)∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
在△DOB和△EOC中,
,
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE,
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
15如图,点E,A,B,F在同一条直线上,AD与BC交于点O,已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证:
(1)BC=AD;
(2)∠CAD=∠DBC.
【证明】(1)∵∠CAE=∠DBF,∠CAB+∠CAE=180°,∠DBF+∠DBA=180°,
∴∠CAB=∠DBA,
在△CAB和△DBA中,,
∴△CAB≌△DBA(SAS),
∴BC=AD;
(2)由(1)知△CAB≌△DBA,∴∠C=∠D,
∵∠COA=∠DOB,∠C+∠CAD+∠COA=180°,∠D+∠DOB+∠DBC=180°,
∴∠CAD=∠DBC.
16如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)求证:AB+AD=2AE.
【证明】(1)∵AC是角平分线,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL);
(2)∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠F=∠CEA=90°,
在Rt△FAC和Rt△EAC中,,
∴Rt△FAC≌Rt△EAC(HL),∴AF=AE,
由(1)知△BCE≌△DCF,∴BE=DF,
∴AB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)
=AE+BE+AE-DF=2AE.
17三个等角的顶点在同一条直线上,称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角,若为直角,则又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件,利用全等三角形解决问题.
(1)已知:如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE.
(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,将(1)中的条件改为:AB=AC,A,E,D三点都在直线m上,且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=β,其中β为任意锐角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【解析】(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)成立.
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)DE=BD+CE不成立,DE=CE-BD成立,理由如下:
∵∠DEC=∠EAC+∠C,∠BAC=∠BAD+∠EAC,∠DEC=∠BAC,
∴∠BAD=∠C,
∵∠BDF=∠DEC,
∴∠BDA=∠AEC,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AD=CE,AE=BD,
∴CE=AD=AE+DE=BD+DE,
∴DE=CE-BD.

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