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13.2　与三角形有关的线段
13.2.1　三角形的边
知识点1　三角形的三边关系
1以下列各组线段的长为边,能组成三角形的是 (C)
A.1 cm,2 cm,3 cm B.1 cm,5 cm,6 cm
C.1 cm,3 cm,3 cm D.2 cm,4 cm,7 cm
2若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 (B)
A.1 B.5 C.7 D.9
3(2025·重庆期末)如图所示是一个折叠凳子及其侧面示意图,点O是AB,CD的中点,且AB=CD=32 cm,则折叠凳子的宽AC可能为 (A)
A.28 cm B.32 cm C.36 cm D.40 cm
练易错　忽视对等腰三角形的边进行分类讨论及验证三角形三边关系致错.
4已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于 (D)
A.12 B.12或15
C.15或18 D.15
5在△ABC中,AB=4,AC=5,BC(1)求BC的取值范围;
(2)若BC的长度是奇数,求△ABC的周长.
【解析】(1)在△ABC中,AB=4,AC=5,则AC-AB∵BC∴1(2)∵1∴BC=3,∴△ABC的周长=AB+AC+BC=4+5+3=12.
6某市木材市场上木棒规格与价格如表.
规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m
价格(元/根) 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用,现有两根长度为3 m和5 m的木棒,还需要到该木材市场上购买一根.
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择
(2)在能做成三角形支架的情况下,选择哪一种规格的木棒最省钱
【解析】(1)设第三根木棒的长度为x m,
根据三角形的三边关系可得5-3解得2结合规格,知x=3,4,5,6,共4种,
∴有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择.
(2)根据木棒的价格可知选3 m的木棒最省钱.
知识点2　三角形的稳定性
7(2025·武汉期末)如图,师傅将空调安装在墙上时,一般都会增加一边固定,这种方法应用的几何原理是 (D)
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间线段最短
D.三角形具有稳定性
8下列图形中,具有稳定性的是 (C)
9如图是在建筑施工过程中,工人师傅用到的一个六边形木架,为了使其稳定,需要用三根木条(长短不限)将其固定,请你帮师傅设计三种方案,并画出示意图.
【解析】三种方案如图所示(答案不唯一):
10(2025·恩施期末)三条线段a=8,b=5,c的值为正整数,则由a,b,c为边可组成的三角形有 (A)
A.9个 B.10个 C.11个 D.12个
11为方便劳动技术小组实践教学,需用篱笆围一块三角形空地,现已连接好三段篱笆AB,BC,CD,这三段篱笆的长度如图所示,其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地,则在篱笆AB上接上的新篱笆的长度可以为(D)
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
12如图,每个盒子里都有两个小棒,把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段,这两段小棒再与另一根小棒首尾相接,能够围成一个三角形的是 (B)
13如图,用AB,BC,CD,AD四条钢条固定成一个铁框,相邻钢条的夹角均可调整,不计螺丝大小及重叠部分.若AB=5,BC=9,CD=7,AD=6,则所固定成的铁框中,两个顶点间的距离最大值是 (C)
A.14 B.16 C.13 D.11
14已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)化简:|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|;
(2)若a=5,b=2,且三角形的周长为偶数,
①求c的值;
②判断△ABC的形状.
【解析】(1)∵a+b>c,a+c>b,b+c>a,
∴a-b-c<0,b-c-a<0,a+b-c>0,
∴原式=b+c-a-a-c+b+a+b-c=3b-a-c;
(2)①∵a=5,b=2,
∴5-2∴3∵三角形的周长为偶数,a+b=7为奇数,
∴c为奇数,
∴c=5;
②∵a=c=5,
∴△ABC为等腰三角形.
15推理能力、几何直观(1)如图1,在四边形ABCD的各边上任意取一个点,分别是E,F,G,H,并顺次连接得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长一定小于原四边形ABCD的周长,请根据线段的性质说明理由.
∵EF同理:FGEH∴EF+FG+HG+EH(2)联系拓广:
在四边形ABCD内一定存在一点P,使点P到四个顶点的距离之和最短.
请在图2中画出这个点,并说明理由.(提示:要想说明点P到四个顶点的距离之和最短,只需在该四边形内部另找任意的一个点Q,说明点Q到四个顶点的距离之和大于点P到四个顶点的距离之和即可)
【解析】(1)∵EF∴EF+FG+HG+EH即四边形EFGH的周长小于四边形ABCD的周长.
答案:三角形两边的和大于第三边
(2)如图,连接AC,BD,其交点为P,
点P即为所求.理由如下:在四边形ABCD的内部任取一点Q,连接QA,QB,QC,QD,∵BD∴AC+BD∴PA+PB+PC+PD13.2.1　三角形的边
知识点1　三角形的三边关系
1以下列各组线段的长为边,能组成三角形的是 ( )
A.1 cm,2 cm,3 cm B.1 cm,5 cm,6 cm
C.1 cm,3 cm,3 cm D.2 cm,4 cm,7 cm
2若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 ( )
A.1 B.5 C.7 D.9
3(2025·重庆期末)如图所示是一个折叠凳子及其侧面示意图,点O是AB,CD的中点,且AB=CD=32 cm,则折叠凳子的宽AC可能为 ( )
A.28 cm B.32 cm C.36 cm D.40 cm
练易错　忽视对等腰三角形的边进行分类讨论及验证三角形三边关系致错.
4已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于 ( )
A.12 B.12或15
C.15或18 D.15
5在△ABC中,AB=4,AC=5,BC(1)求BC的取值范围;
(2)若BC的长度是奇数,求△ABC的周长.
6某市木材市场上木棒规格与价格如表.
规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m
价格(元/根) 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用,现有两根长度为3 m和5 m的木棒,还需要到该木材市场上购买一根.
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择
(2)在能做成三角形支架的情况下,选择哪一种规格的木棒最省钱
知识点2　三角形的稳定性
7(2025·武汉期末)如图,师傅将空调安装在墙上时,一般都会增加一边固定,这种方法应用的几何原理是 ( )
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间线段最短
D.三角形具有稳定性
8下列图形中,具有稳定性的是 ( )
9如图是在建筑施工过程中,工人师傅用到的一个六边形木架,为了使其稳定,需要用三根木条(长短不限)将其固定,请你帮师傅设计三种方案,并画出示意图.
10(2025·恩施期末)三条线段a=8,b=5,c的值为正整数,则由a,b,c为边可组成的三角形有 ( )
A.9个 B.10个 C.11个 D.12个
11为方便劳动技术小组实践教学,需用篱笆围一块三角形空地,现已连接好三段篱笆AB,BC,CD,这三段篱笆的长度如图所示,其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地,则在篱笆AB上接上的新篱笆的长度可以为( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
12如图,每个盒子里都有两个小棒,把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段,这两段小棒再与另一根小棒首尾相接,能够围成一个三角形的是 ( )
13如图,用AB,BC,CD,AD四条钢条固定成一个铁框,相邻钢条的夹角均可调整,不计螺丝大小及重叠部分.若AB=5,BC=9,CD=7,AD=6,则所固定成的铁框中,两个顶点间的距离最大值是 ( )
A.14 B.16 C.13 D.11
14已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)化简:|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|;
(2)若a=5,b=2,且三角形的周长为偶数,
①求c的值;
②判断△ABC的形状.
15推理能力、几何直观(1)如图1,在四边形ABCD的各边上任意取一个点,分别是E,F,G,H,并顺次连接得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长一定小于原四边形ABCD的周长,请根据线段的性质说明理由.
∵EF同理:FGEH∴EF+FG+HG+EH(2)联系拓广:
在四边形ABCD内一定存在一点P,使点P到四个顶点的距离之和最短.
请在图2中画出这个点,并说明理由.(提示:要想说明点P到四个顶点的距离之和最短,只需在该四边形内部另找任意的一个点Q,说明点Q到四个顶点的距离之和大于点P到四个顶点的距离之和即可)

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