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第2课时　直角三角形的两个锐角互余
知识点　直角三角形的两个锐角互余
1在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为 ( )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
2[教材再开发·P14练习T1变式]如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC的高,若∠B=20°,则∠DAC= ( )
A.90° B.20° C.45° D.70°
3在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A= ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
4如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD∥AB,∠ACD=36°,那么∠B的度数为 .
5给定下列条件,不能判定三角形是直角三角形的是 ( )
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=∠B=∠C
D.∠A=2∠B=3∠C
6直角三角形中,两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是 ( )
A.120° B.135° C.150° D.160°
7直角三角形中两个锐角的差为20°,则较小的锐角度数是 °.
练易错　忽视分类讨论
8如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠A=30°,过AB边上一点D剪下△ADE,点E在AC上,当△ADE是直角三角形时,∠AED的度数是 .
9几何直观在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AC,BC边上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图1所示,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数;
(2)若点P在线段AB上运动,如图2所示,求∠α,∠1,∠2之间的数量关系.13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
知识点　三角形的内角和定理
1在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为 (A)
A.60° B.50° C.40° D.30°
2如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 (B)
A.65° B.75° C.85° D.95°
3△ABC的三个内角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则这个三角形是 (C)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4在探究证明三角形的内角和定理时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 (B)
5如图,已知AB,CD交于点O,∠A=19°,∠B=35°,∠C=29°,则∠D的度数是　45°　.
练易错　忽视对三角形形状的讨论
6在△ABC中,∠A=40°,BD为AC边上的高,若∠CBD=10°,则∠ABC的度数为　40°或60°　.
7[教材再开发·P12例1变式]如图,在△ABC中,∠BAC=95°,∠B=25°,∠CAD=75°,求∠ADC的度数.
【解析】∵∠BAC=95°,∠B=25°,
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=60°,
∵∠CAD=75°,
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°.
8如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是∠BAC的平分线,则∠ADB= (C)
A.65° B.75° C.85° D.90°
9如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,DE∥BC,若∠A=62°,∠B=74°,则∠EDC= (C)
A.37° B.32° C.22° D.44°
10[教材再开发·P12例2变式]如图,李明同学在东西方向的滨海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,他向东走400米至B处,测得灯塔P在北偏东30°方向上,则从灯塔P观测A,B两处的视角∠P的度数是 (A)
A.30° B.32° C.35° D.40°
11如图,△ABC中,∠B=37°,∠C=67°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线.则∠DAE的度数为　15°　.
12如图,在△ABC中,AD是高,BE是角平分线,它们相交于点F,∠BAC=58°,∠C=72°,求∠DAC和∠AFB的度数.
【解析】∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°,
∵∠BAC=58°,∠C=72°,
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°,
∠DAC=180°-∠ADC-∠C=18°,
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠ABC=25°,
∴∠AFB=180°-∠ABF-∠BAD=115°.
13几何直观、推理能力【问题背景】一次数学综合实践活动课上,老师提出了一个问题:如何证明三角形内角和等于180°,小红的证明思路是:如图1,在△ABC中,过点A作DE∥BC,再利用平行线的相关知识来证明∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:过A点作DE∥BC.
(1)请按照小红同学的思路继续完成证明过程.
(2)【尝试运用】如图2,若DE∥BC且经过A点,F为BC延长线上一点,AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,AH与CH交于点H,求∠AHC的大小.
(3)【拓广探索】如图3,在△ABC中,点F是BC延长线上的一点,CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,CH与BH交于点H.若∠A=50°,求∠H的大小.
【解析】(1)过A点作DE∥BC,
∴∠DAB=∠B,∠CAE=∠C,
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°;
(2)∵DE∥BC,∴∠EAC+∠FCA=180°,
∵AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,
∴∠HAC=∠EAC,∠ACH=∠FCA,
∴∠HAC+∠ACH=∠EAC+∠FCA
=(∠EAC+∠FCA)=×180°=90°,
∵∠HAC+∠ACH+∠AHC=180°,
∴∠AHC=180°-(∠HAC+∠ACH)=180°-90°=90°;
(3)∵CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,
∴∠HBC=∠ABC,∠HCF=∠ACF,
∵∠ACF=∠A+∠ABC,∠HCF=∠HBC+∠H,∴∠H=∠HCF-∠HBC
=∠ACF-∠ABC
=(∠A+∠ABC)-∠ABC
=∠A+∠ABC-∠ABC
=∠A=25°.13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
知识点　三角形的内角和定理
1在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为 ( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
2如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 ( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
3△ABC的三个内角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4在探究证明三角形的内角和定理时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 ( )
5如图,已知AB,CD交于点O,∠A=19°,∠B=35°,∠C=29°,则∠D的度数是 .
练易错　忽视对三角形形状的讨论
6在△ABC中,∠A=40°,BD为AC边上的高,若∠CBD=10°,则∠ABC的度数为 .
7[教材再开发·P12例1变式]如图,在△ABC中,∠BAC=95°,∠B=25°,∠CAD=75°,求∠ADC的度数.
8如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是∠BAC的平分线,则∠ADB= ( )
A.65° B.75° C.85° D.90°
9如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,DE∥BC,若∠A=62°,∠B=74°,则∠EDC= ( )
A.37° B.32° C.22° D.44°
10[教材再开发·P12例2变式]如图,李明同学在东西方向的滨海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,他向东走400米至B处,测得灯塔P在北偏东30°方向上,则从灯塔P观测A,B两处的视角∠P的度数是 ( )
A.30° B.32° C.35° D.40°
11如图,△ABC中,∠B=37°,∠C=67°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线.则∠DAE的度数为 .
12如图,在△ABC中,AD是高,BE是角平分线,它们相交于点F,∠BAC=58°,∠C=72°,求∠DAC和∠AFB的度数.
13几何直观、推理能力【问题背景】一次数学综合实践活动课上,老师提出了一个问题:如何证明三角形内角和等于180°,小红的证明思路是:如图1,在△ABC中,过点A作DE∥BC,再利用平行线的相关知识来证明∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:过A点作DE∥BC.
(1)请按照小红同学的思路继续完成证明过程.
(2)【尝试运用】如图2,若DE∥BC且经过A点,F为BC延长线上一点,AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,AH与CH交于点H,求∠AHC的大小.
(3)【拓广探索】如图3,在△ABC中,点F是BC延长线上的一点,CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,CH与BH交于点H.若∠A=50°,求∠H的大小.第2课时　直角三角形的两个锐角互余
知识点　直角三角形的两个锐角互余
1在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为 (C)
A.40° B.45°
C.50° D.60°
2[教材再开发·P14练习T1变式]如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC的高,若∠B=20°,则∠DAC= (B)
A.90° B.20° C.45° D.70°
3在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A= (B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
4如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD∥AB,∠ACD=36°,那么∠B的度数为　54°　.
5给定下列条件,不能判定三角形是直角三角形的是 (D)
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=∠B=∠C
D.∠A=2∠B=3∠C
6直角三角形中,两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是 (B)
A.120° B.135° C.150° D.160°
7直角三角形中两个锐角的差为20°,则较小的锐角度数是　35　°.
练易错　忽视分类讨论
8如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠A=30°,过AB边上一点D剪下△ADE,点E在AC上,当△ADE是直角三角形时,∠AED的度数是　60°或90°　.
9几何直观在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AC,BC边上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图1所示,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数;
(2)若点P在线段AB上运动,如图2所示,求∠α,∠1,∠2之间的数量关系.
【解析】(1)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,
∵∠α=60°,
∴∠APD+∠BPE=180°-60°=120°,
∵∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°-∠B-∠BPE,∴∠1+∠2
=180°-∠APD-∠A+180°-∠B-∠BPE
=360°-(∠APD+∠BPE+∠A+∠B)
=360°-(120°+90°)
=150°;
(2)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,
∵∠α+∠APD+∠BPE=180°,
∴∠APD+∠BPE=180°-∠α,
∵∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°-∠B-∠BPE,∴∠1+∠2
=180°-∠APD-∠A+180°-∠B-∠BPE
=360°-(180°-∠α+90°)=90°+∠α,
∴∠1+∠2=90°+∠α.

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