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2024-2025 学年河南省信阳市商城县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | ≥ 4}， = {1,2,3,4,5}，则 ∩ =( )
A. {5} B. {4,5} C. {2,3} D. {1,2,3}
2.若{ 1, 2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中不．能．作为平面向量的基底的是( )
A. { 1, 1+ 2} B. { 1+ 2, 1 2}
C. { 1+ 2, 2 1 + 2 2} D. { 1 2, 2 1+ 2 2}
3.若 为第三象限角，则下列各式的值为负数的是( )
A. sin( + ) B. cos( + ) C. sin( ) D. tan( + )
4.若 tan( 3 44 ) = 3，则 2 =( )
A. 725 B.
7 7 7
25 C. 24 D. 24
5.已知一组数据 39，41，44，46，49，50， ，55 的第 65 百分位数是 50，那么实数 的取值范围是( )
A. [50, + ∞) B. (50, + ∞) C. (50,55) D. [50,55]
6.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 , , , = 4 , = 4，若△ 有两解，则 的取值范围是( )
A. (2,2 2) B. (2 2, 4) C. (2 2, 2 3) D. (2 3, 4)
7.在梯形 中， // ， ⊥ 1， = = 2 = 2，点 在线段 上，则
的取值范围为( )
A. (2,8) B. [2,8] C. (4,16) D. [4,16]
8.由瑞士著名建筑大师马里奥 博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体
1 1 1 1是该建筑的直观图，当身高为 人(忽略眼睛到头顶的距离)站在点 处( 的延长线上)时可以估
测 1点、 1点的仰角，现测得楼宽 长为 ，此人估测得 1点的仰角为 ， 1点的仰角为 ，则估测教学
楼的高 1为( )(单位： )
A. + sin( + )

B. + sin( + )sin( )
C. + sin( + )sin( )
D. + sin( + )sin( )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是两个概率大于 0 的随机事件，则下列结论正确的是( )
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A. ( ) + ( ) > 1
B.若 和 互斥，则 和 一定相互独立
C.若事件 ，则 ( ) ≤ ( )
D.若 和 相互独立，则 和 一定不互斥
10.下列关于向量的命题，错误的是( )
A. + =
B.在边长为 1 的等边△ 中， = 12
C.若 // ，则 =
D.若 < 0，则向量 ， 的夹角是钝角
11.在正方体 1 1 1 1中， = 2， 在线段 1上，则( )
A.当 为 1中点时， 与 1所成角的正切值是 5
B. 与平面 1 1所成角为定值
C.三棱锥 1的体积为定值
D. + 1 的最小值为 2 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (1,1), = ( , 6)，且 // ，则实数 = ______．
13.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 、 分别为棱 、 的中
点，则平面 1 1 与底面 所成的二面角的余弦值为______．
14.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 2
与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制).例如，正四面体的每

个顶点有 3 个面角，每个面角为3，所以正四面体在各顶点的曲率为 2 3 × 3 = .在底面为矩形的四棱锥
中， ⊥底面 ， = 2 . 与底面 所成的角为6，在四棱锥 中，顶点
的曲率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 (0,1)， (3,2)， ( 1,5)．
(1)若 2 = ( , )，求 ， ；
(2)若 = 2 + 4 ，求点 的坐标．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3sin2( + 4 ) 2
2 3 + 1．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)若 是 ( ) = 2 的一个零点，求 ( )的值．
17.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为锐角三角形 三个内角 ， ， 的对边，且 3 = 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 7， = 2，求 ；
(3) = 2若 3，求 cos(2 + )的值．
18.(本小题 17 分)
某校从高一年级学生中随机抽取 40 名，将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分，所有成绩均为不低于 40
分的整数)分为 6 组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求出图中实数 的值；
(2)若该校高一年级共有学生 640 名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 80 分的人数；
(3)若从成绩来自[40,50)和[90,100]两组的学生中随机选取两名学生：
(ⅰ)写出该试验的样本空间；
(ⅱ)求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．
19.(本小题 17 分)
如图，在等腰直角三角形 中， = ， 是半圆弧 上异于 ， 的动点，平面 ⊥平面 .设 ，
1分别为 ， 的中点，∠ = ，三棱锥 体积的最大值为3．
(1)证明： ⊥平面 ；
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(2) 当 = 6时，求二面角 的正切值；
(3)求点 到平面 的距离(用 表示)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13. 55
14.3 4
15.解：(1) (0,1)， (3,2)， ( 1,5)，
则 = (3,1)， = ( 1,4)，
2 = (3,1) ( 2,8) = (5, 7) = ( , )，即 = 5， = 7；
(2)设 ( , )，
= (3,1)， = ( 1,4)，
则 2 + 4 = (6,2) + ( 4,16) = (2,18)，
(0,1)， = 2 + 4 ，
0 = 2 = 2
则 1 = 18，解得 = 19，
故点 的坐标为(2,19)．

16. 1 cos(2 + )(1) ( ) = 2 3 2 2 1 2 由题意可得 2 2 3 + 1
= 3[1 + 2 ] (1 2 ) 3 + 1
= 3 2 + 2
= 2 (2 + 6 )，
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令 2 + 6 ∈ [

2 + 2 , 2 + 2 ]， ∈ ，
∈ [ 解得 3 + ,

6 + ], ∈ ，

故 ( )的单调递增区间为[ 3 + , 6 + ], ∈ ；
(2)根据零点条件： ( ) = 2 = 0，
可得 = 2，
2
2 = 2 = 4 2 = 1 tan = 3所以 1+tan2 5， 1+tan2 5，

所以 ( ) = 2 (2 + 6 )

= 2( 2 6 + 2 6 )
4 3 3 1
= 2(5 × 2 5 × 2 )
= 4 3 35 ．
17.解：(1) 由于 0 < < 2，所以 ≠ 0，
由 3 = 2 得 3 = 2 ，
所以 = 32 ，且三角形 为锐角三角形，

所以 = 3；
2 2 2 2
(2) + 4+ 7 1在△ 中，由余弦定理有 = 2 = 4 = 2，
解得 = 3 或 = 1(舍)，
故 = 3．
(3)由 = 23，可得 =
5
3 ，
所以 2 = 2 2 1 = 2 × 49 1 =
1
9， 2 = 2 = 2 ×
5
3 ×
2 4 5
3 = 9 ，
cos(2 + ) = 2 2 = 1 × 1 4 5 × 3 = 1+4 159 2 9 2 18 ．
18.(1)因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1，
可得(0.005 + 0.010 + 0.020 + + 0.025 + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.030．
(2)若该校高一年级共有学生 640 名，成绩不低于 80 分的频率为(0.025 + 0.01) × 10 = 0.35，
成绩不低于 80 分的人数为 640 × 0.35 = 224 人．
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(3)(ⅰ)成绩来自[40,50)的学生人数为 40 × 0.05 = 2 人，记为 ， ，
成绩来自[90,100]的学生人数为 40 × 0.1 = 4 人呢，记为 ， ， ， ，
则从中随机选取两名学生的样本空间为： = { , , , , , , , , , , , , , , }，共 15 个
样本点，
(ⅱ)设 =“两名学生数学成绩至多有一名及格”，
则 = { , , , , , , , , }，其中含了 9 个样本点，
9 3
所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率 ( ) = 15 = 5．
19.解：(1)证明：由△ 为等腰直角三角形，且 = ，且 ， 分别为 ，
的中点，连接 ， ，
则 ⊥ ，又平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
又因为∠ 为直径 所对的圆周角，所以∠ = 2，即 ⊥ ，
又 // ，所以 ⊥ ，因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)连接 ，由题意可知当 ⊥ 时，三棱锥 体积取到最大，
此时 1 1 1 2 1 1 = = 3 △ = 3 × 4 × 2 = 3，
解得 = 2，
由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ，所以∠ 即为二面角 ，
因∠ = = 6，
= sin = 1 = 所以 2 6 2， 2 = 1，
所以 tan∠ = = 2，
故二面角 的正切值为 2．
(3)连接 ，如图，由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = 2，
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= = 2 ， = 12 = ，
1
所以 △ = 2 × = =
2
2 ，
在△ 中， = 2 = ，
1
所以 △ = 2 × ×
2 ( 2 )
2 = 2 sin2 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 = ，
1
即3
1
△ × = 3 △ × ，
1
即3 × 2 sin
2 × = 13 × × 1，
= 解得 ，
2 sin2
故点 到平面 的距离为 ．
2 sin2
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