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2024-2025 学年陕西省西安四十四中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 1+ .复数 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
2.某校举办了校园歌手大赛，参加总决赛的 10 名同学的成绩(单位：分)为 73，82，84，70，74，88，92，
80，79，90，则这 10 名同学成绩的第 60 百分位数为( )
A. 80 B. 82 C. 83 D. 84
3.设 ， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， ， ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ 或 //
4.某射击运动员射击 5 次的成绩如下表：
第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次
9 环 9 环 10 环 8 环 9 环
下列结论正确的是( )
A.该射击运动员 5 次射击的平均环数为 9.2 B.该射击运动员 5 次射击的平均环数为 9.5
C. 2该射击运动员 5 次射击的环数的方差为 1 D.该射击运动员 5 次射击的环数的方差为5
5.已知单位向量 ， ， 满足 3 + 4 = 5 ，则 =( )
A. 0 B. 3 C. 45 5 D. 1
6.如图，梯形 1 1 1 1是一平面图形 的直观图，若 1 1// ′ ′，且 1 1 = 2， 1 1 = 1，则 =( )
A. 2 3
B. 3 2
C. 2 2
D. 3 3
7.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差
一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，
六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这 6 个节气中任选 2 个
节气，则这 2 个节气不在同一个月的概率为( )
A. 45 B.
2
3 C.
3 14
5 D. 15
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8.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，2 = + ， = 1，则△ 周长的
最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 34
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量 = (1,2)， = (3, )，若 与 的夹角为锐角，则 的值可能是( )
A. 32 B. 1 C. 0 D. 6
10.如图，三棱台 ′ ′ ′的侧棱长均相等，△ 和△ ′ ′ ′都是等边三角形， ′ ′ = 2，
= 4， ′ = 2，则( )
A.直线 ′与直线 ′所成的角为3
B.直线 与直线 ′ ′所成的角为3
C.三棱台 ′ ′ ′的体积为 2 2
D. 7 2三棱台 ′ ′ ′的体积为 3
11.设实验 是古典概型，样本空间 包含 16 个样本点，事件 ， ， ， ∪ 分别包含其中的 6，2，8，11
个样本点，且事件 和 互斥，则( )
A. ( ∪ ) = 2 B. 33 8 ≤ ( ∪ ) ≤
1
2
C.事件 和 相互独立 D.事件 ∪ 和 是对立事件
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 = + 1 + ( 1) 的共轭复数是本身，则 = ______．
13.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则三棱锥 1 外接球的
表面积为______．
14.如图， ， 均为圆上的动点(可重合)， 为圆心，已知该圆的半径为 1，则
的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 为矩形， = 2， = = 4， 为 的中点．
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(1)求三棱锥 的体积；
(2)证明： ⊥平面 ．
16.(本小题 15 分)
某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共 1200 名学生进行了授课，授课结
束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了 100 份作为样本，将样本的成绩(满分 100 分，成绩
均为不低于 50 分的整数)整理后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)估计样本成绩的中位数(结果精确到小数点后 1 位)；
(3)若测验成绩不低于 80 分的同学被定义为“地理爱好者”.试估计全年级“地理爱好者”的人数．
17.(本小题 15 分)
如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，设 的中点为 ，以 为坐标
原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知 (1,0)．
(1)求 ；
(2)若点 在线段 上， = 1，求 cos , ．
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18.(本小题 17 分)
△ = 6 = 1在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， 3 . 为线段 上一点，且 = 2 ，
= 1293 ．
(1)求 ；
(2)求 ．
19.(本小题 17 分)
如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是线段 1 1， 1 上的动点，且满足 1 =
1 = (0 < < 2)．
(1)证明： //平面 1 1．
(2)当 的长度最小时，求过 且与 平行的平面截正方体所得截面的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.3
14.[0,2]
15.(1)根据题意可得三棱锥 1 1 8的体积为3 × 2 × 2 × 2 × 4 = 3；
(2)证明：因为 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
又底面矩形 中， = 2 ， 为 中点，
所以可得 ⊥ ，又 ⊥ ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
16.解：(1)由题意得(0.01 + 0.01 + + 0.035 + 0.02) × 10 = 1，
解得 = 0.025；
(2)因为 10 × (0.01 + 0.01 + 0.025) = 0.45 < 0.5，10 × (0.01 + 0.01 + 0.025 + 0.035) = 0.8 > 0.5，
所以中位数在[80,90)这一组，设中位数的估计值为 ，
则 0.45 + ( 80) × 0.035 = 0.5，
解得 ≈ 81.4，
即样本成绩的中位数约为 81.4；
(3)全年级“地理爱好者”约有 1200 × (0.035 + 0.02) × 10 = 660 人．
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17.(1)因为 (1,0)，由对称性可得 ( 1,0)， ( 2,3)， (2,3)，
则 = ( 1,3)， = (3,3)，
所以 = 3 + 9 = 6；
(2)设 (1, )(0 ≤ ≤ 2)，则 = (2, )，
所以 = 2 + 3 = 1，解得 = 1，
所以 = (2,1)，
则 cos < , >= 1 2
|
=
|| | 10× 5
= 10．
18.(1)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 及 = 6， = 13，
1
可得 2 = 62 + 2 2 × 6 × ( 3 ) = 36 +
2 + 4 ，①
因为 = 2 ，所以 = 23 ， =
1
3 ，
2 2 2 129+
2
36
在△ 中，cos∠ = + = 9 92 2 129 ，
9
2 2 2 129+4
2
2
在△ 中，cos∠ = + 9 92 = 4 129 ，
9
129 2+ 36 129+4
2
2
由 cos∠ + cos∠ = 0，可得 9 92 129 +
9 9
4 129 = 0，
9 9
2
整理得 2 23 29 = 0，②
联立①②，解得 = 5 或 = 3；
(2)①当 = 5 时，由cos2 + sin2 = 1 1及 = 3，
1 2 2
可得 =± 1 cos2 =± 1 ( 23 ) =± 3 ，
由 0 < < ，可得 > 0，则 = 2 23 ，
将 = 5 代入①式，得 = 9，
9

由正弦定理 2 2 = ，可得 3 =
6
，
4 2
解得 = 9 ；
②当 = 3 时，由cos2 + sin2 = 1 及 = 13，
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可得 =± 1 cos2 =± 1 ( 13 )
2 =± 2 23 ，
由 0 < < ，可得 > 0，则 = 2 23 ，
将 = 3 代入①式，得 = 57，
57
6
由正弦定理 = ，可得
2 2
3 = ，
= 4 114解得 57 ．
19.证明：(1)在平面 1 1 1 1内过点 作 1 1平行线分别交 1 1， 1 1于 ， ，
在平面 1 1 内过点 作 1 1的平行线分别交 1， 1于 ， ，连接 ， ，
在 1 1

1中，由 // 1 1，可知 1 = ，1 1 1 1
又 1 =

且正方体棱长为 1，代入可得 1 = 2，
2 2
所以 = 2 所以 = 1 2 ，
2
同理可得 = 1 2 ，
又由 // 1 1// ，且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又因为 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1；
解：(2)由第 1 问知四边形 为平行四边形，所以 = ，

在△ 1 1 1中，由 // 1 1，可得 1 1 1 1
=
1 1

1 2
= 1 ，
2
所以 1 = 2 ，所以 1 = 1
2
2 ，
1 = 1 = 1 2在 1 1中， 1 1 2 1
所以， 1 = 2 ，
所以在 1 中， = = 2 + 2 = (1
2 )21 1 2 + (
2 2
2 ) =
2 2 + 1 =
( 2 )2 12 + 2，
当 = 22 时， 最小，此时 ， 分别是线段 1 1， 1 上的中点，
由 ， 分别是线段 1 1， 1 上的中点，可得 ， ， ， 分别是各自所在棱的中点，
又因为 // 1 1// ，所以 四点共面，
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又 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
所以四边形 即为所求截面，
由于 ， ， ， 分别是各自所在棱的中点，
可得 // 1 1// ，且 = 1 = ，
所以四边形 为平行四边形，
又 1 ⊥平面 1 ，且 // 1，
所以 ⊥平面 1 1， 平面 1 1，
所以 ⊥ ，
所以四边形 为矩形，
而 = 2 21 = 1， = 1 + 2 =
1 + 1 = 24 4 2 ，
故四边形 的面积 = = 1 × 2 22 = 2 ．
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