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2024-2025 学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 < 4}，集合 = { | < 1}，则 ∩ =( )
A. B. {1} C. {0,1} D. {1,2}
2.“log3 > log 3 ”是“3 > 3 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3 1.已知6 = ，log6 = ，若 + = 2，则 =( )
A. 136 B.
6
6 C. 6 D. 36
4.已知 = 1.11.1， = 0.9 1.1， = 2，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.已知等差数列{ }的各项都不相等，它的前 3 项和为 18，且 1， 2， 4成等比数列，则 3 =( )
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9

6.已知函数 ( ) =
, > 0
2 3 6 + , ≤ 0的值域为 ，则实数 的取值范围为( )
A. [1, + ∞) B. ( ∞, 3] C. [ 3, + ∞) D. ( ∞,1]
7.已知数列{ }的前 项和为 2 ，若 = + 8 ，则{| |}的前 10 项和为( )
A. 32 B. 41 C. 52 D. 65
8.已知定义在 上的函数 = ( )，其导函数为 ′( )，当 < 0 时， ′( ) + ( ) > 0，若 2 ( ) +
2 ′( ) + ( ) + ′( ) = 0，且 (1) = 0，则不等式 ( ) < 0 的解集为( )
A. ( 1,1) B. ( ∞, 1) ∪ (0,1)
C. ( 1,0) ∪ (1, + ∞) D. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .若 >

> 0，则( )
A. | | < | | B. < 0 C. < 0 D.

> 1
10.已知函数 ( ) = ln 1+ 31 + 2 (1 + ) + ，则( )
A.函数 ( )的定义域为( 1,1)
B.曲线 = ( )是中心对称图形
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C.当 = 0， = 0 时，函数 ( )在定义域上单调递减
D.若 = 0，且 ( )在定义域上不单调，则 < 1

11.已知函数 ( ) = 2， ( ) = ( )，则( )
2
A.函数 ( )在 = 2 处取得极小值 4
B.存在唯一实数 ，使得 ( ) = 1
C.若 > 0，则 ( )图象上一点与 = 图象上一点之间的距离可能为 1
D.若 > 0，则 ( ) ≥ 2 3 ( ) + 3 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { || + 1| < 2}， = { |2 > }，若 ，则实数 的取值范围为______．
13.设 ( )是定义在 上周期为 2 的奇函数，当 0 ≤ ≤ 1 时， ( ) = 2 ，则 ( 52 ) = ______．
14.已知曲线 1： = 2 ( > 0)和曲线 2： = ln( + )( > 0)，若曲线 1与曲线 2关于直线 = 对

称，则 =
1 2
______；若曲线 1在 = 0 处的切线也是曲线 2的切线，则 + 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
( )
已知函数 ( )满足 2 ( ) ( ) = 2 6 + 1，函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若存在 ∈ [2,8]，使得不等式 (log2 ) 2 ≥ 0 成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某项比赛近五年的观众人数(单位：万人)与年份的统计数据如表所示：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
观众人数 (万人) 1.7 1.8 2 2.2 2.3
(1)已知可用线性回归模型拟合 与 的关系，请建立 关于 的线性回归方程，并预测 2026 年的观众人数；
(2)若该比赛的门票有 ， 两个等次的票价，某机构随机调查了 100 位观众的购票情况，得到的部分数据如
表所示，请将 2 × 2 列联表补充完整，并判断能否有 99%的把握认为观看比赛的观众是否购买 等票与性别
有关．
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购买 等票 购买 等票 总计
男性观众 40 55
女性观众 25
总计 100

参考公式及参考数据：回归方程 = + 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 =

=1 ( )( )

, = ． =1 ( )2
2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
6, 为奇数
已知{ } 为等差数列， = ，记 ， 分别为数列{ }，{ }的前 项和， 4
= 16， 4 = 14．
2 , 为偶数
(1)求{ }的通项公式；
(2)对任意 ∈ ，将数列{ }中落入区间(2 , 22 )内项的个数记为 ，求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + 2 ) ，其中 ≥ 0．
(1)若 = 1，求 ( )的极小值；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)设函数 ( )在区间[ 1,2]上的最大值和最小值分别为 ( )和 ( )，求使得不等式 ( ) ( ) ≤ (2 +
6 ) + 4 2成立的 的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ， ∈ ．
(1)若 = 0，求曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)若函数 ( )在[1, + ∞)上单调递减．
( )求 的取值范围；
( )证明：ln( ! ) ( + 1 3 2 ) + > 4 , ∈ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 6]
13.14
14.2 4
15.(1)根据题意，函数 ( )满足 2 ( ) ( ) = 2 6 + 1，①，
用 换 ，可得 2 ( ) ( ) = 2 + 6 + 1，②
① × 2 +②得 ( ) = 2 2 + 1，
( ) = ( ) =
2 2 +1
所以 = +
1
2．
(2)根据题意，若存在 ∈ [2,8]，使得不等式 (log2 ) 2 ≥ 0 成立，
设 = log2 ，
若 ∈ [2,8]，则 ∈ [1,3]，
则存在 ∈ [1,3] 1 1 2 1，使 ( ) ≥ 0，即 + 2 2 ≥ 0，变形可得 ≤ 1 + 2 = ( 1) ，
1 1
因为 ∈ [1,3]，所以 ∈ [ 3 , 1]，
1 1 1 4
当 = 3时，( 1)
2取得最大值9，
4 4
所以 ≤ 9，即 的取值范围是( ∞, 9 ]．
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16. (1) = 3, = 2，所以 = 1 2 25 ( ) = ( 2) + ( 1)
2 + 0 + 12 + 22 = 10，

= 15 ( )( ) = ( 2) × ( 0.3) + ( 1) × ( 0.2) + 0 × 0 + 1 × 0.2 + 2 × 0.3 = 1.6，
=1 ( )(
= 5
)
则 = 1.6
=15 ( )
2 10 = 0.16，因此 = 2 0.16 × 3 = 1.52，

故 关于 的线性回归方程为 = 0.16 + 1.52

易知 2026 年的年份编号为 6，当 = 6 时， = 0.16 × 6 + 1.52 = 2.48，
估计 2026 年观众人数将达到 2.48 万人；
(2)2 × 2 列联表如下：
等票 等票总计
男性 40 15 55
女性 20 25 45
总计 60 40 100
零假设为 0：观看比赛的观众是否购买 等票与性别无关，
2
2 = 100×(40×25 20×15)60×40×55×45 ≈ 8.249 > 6.635，
根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，可知零假设不成立，
故有 99%的把握认为观看比赛的观众是否购买 等票与性别有关．
17.(1)设等差数列{ }的公差为 ，
由题意可得 1 = 1 6， 2 = 2 2 = 2 1 + 2 ， 3 = 3 6 = 1 + 2 6， 4 = 2 4 = 2 1 + 6 ，
因为 4 = 16， 4 = 14，
4 1 + 6 = 16所以 ( 1 6) + (2 1 + 2 ) + ( 1 + 2 6) + (2 1 + 6 ) = 14
，
2 1 + 3 = 8 1 = 1整理得 3 ，解得1 + 5 = 13 = 2
，
所以 = 2 1．
(2)对 ∈ ，若2 < < 22 ，则2 < 2 1 < 22 ，
因此2 1 + 12 < < 2
2 1 + 12，2
1 + 1 ≤ ≤ 22 1，
故得 = 22 1 2 1 =
1
2 (2
2 2 )，
1
于是 = + + + = [(4 + 42 + + 4 ) (2 + 22 + + 2 1 2 2 )]
= 1 [ 4(1 4
)
2 1 4
2(1 2 ) 1 4(4 1) 2 1
1 2 ] = 2 [ 3 2(2 1)] = 3 × 4 2 + 3．
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18.(1)根据 ( ) = ( + 2) 得 ′( ) = ( + 3) ，
解不等式 ′( ) < 0，可得 < 3，所以 ( )在区间( ∞, 3)上单调递减，
解不等式 ′( ) > 0，可得 > 3，所以 ( )在区间( 3, + ∞)上单调递增，
因此函数 ( )的极小值为 ( 3) = 3．
(2)根据函数 ( ) = ( + 2 ) ，那么导函数 ′( ) = ( + 2 2 + 1) ，
当 = 0 时，函数 ( ) = ， ( )的单调递增区间为( ∞, + ∞)，无单调递减区间；
2 2 > 0 +1当 时，根据 ′( ) < 0，得 ∈ ( ∞, )；
2 2+1
根据 ′( ) > 0，得 ∈ ( , + ∞)，
2 2+1
因此函数单调递减区间为( ∞, )，
2
( ) 2 +1的单调递增区间为( , + ∞)，
综上所述，当 = 0 时， ( )的单调递增区间为( ∞, + ∞)，无单调递减区间；
2
当 > 0 2 +1时， ( )的单调递增区间为( , + ∞)，
2
单调递减区间为( ∞, 2 +1 )．
(3)根据第二问知，当 = 0 时， ( )在区间[ 1,2]单调递增，
2
当 > 0 2 +1 1时， = (2 + ) ≤ 2 2
1
= 2 2，
当且仅当 2 = 1 2 ，即 = 2 时等号成立，那么 ( )在[ 1,2]上单调递增，
综上所述， ( )在[ 1,2]上单调递增，从而 ( ) = ( 1)， ( ) = (2)，
因此 ( ) ( ) = (2) ( 1) = (2 + 2 ) 2 ( 1 + 2 ) = (4 2 + 2 2) ．
根据 ( ) ( ) ≤ (2 + 6 ) + 4 2，得 4( 2 1) 4 2 ≤ 0，即( 2 1) 2 ≤ 0，
令函数 ( ) = ( 2 1) 2，那么导函数 ′( ) = ( 2 + 2) ，
根据 ′( ) = 0，得 = 2(舍去)或 = 1，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0；当 > 1 时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．
又由于 (0) = 1 2 < 0， (1) < (0) < 0，且 (2) = 0，
所以当 ∈ (0,2]时， ( ) ≤ 0；当 ∈ (2, + ∞)时， ( ) > 0，
即当且仅当 ∈ (0,2]时， ( ) ( ) ≤ (2 + 6 ) + 2恒成立，
所以使得 ( ) ( ) ≤ (2 1) + 2成立的 的最大值为 2．
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19.(1)导函数 ′( ) = 1 + ，
因此 ′(1) = 1， (1) = 0，即切线斜率为 1，切点为(1,0)，
因此 = 1 处的切线为 0 = 1，即 1 = 0．
(2)( ) ( )在[1, + ∞)上单调递减，
因此导函数 ′( ) = 1 + 2 ≤ 0 1+ 在[1, + ∞)恒成立，即不等式 2 ≥ 在[1, + ∞)恒成立，
令函数 ( ) = 1+ , ′( ) =

2 ，
当 ∈ (1, + ∞)时，导函数 ′( ) < 0，
因此函数 ( )在(1, + ∞)上递减，那么 ( ) ≤ (1) = 1，
1
因此 2 ≥ 1，所以 ∈ [ 2 , + ∞)．
( )证明：设 = ln( ! ) ( +
1
2 ) + , ∈ , 为{ }的前 项和，
那么 1 = 1 = 1 (1 +
1
2 ) 1 + 1 = 1，可知此时不等式成立．
当 ≥ 2 时，
1 1
= 1 = [ln( ! ) ( + 2 ) + ] [ln(( 1)! ) ( 2 )ln( 1) + ( 1)]
= ( 12 )ln

1 + 1，
那么如果要证明 ln( ! ) ( + 12 ) + >
3 3
4，所以 = 1 + 2 + + = 1 + =2 > 4，
3 1
那么只需证明 1 + =2 > 4，所以 =2 ( ) < 4，
≥ 2 1 由于当 时，数列 = ( 2 )ln 1 + 1，因此可得 = (
1
2 )ln

1 1，
根据( )知，当 = 12，函数 ( )在区间[1, + ∞)上单调递减，
因此函数 ( ) = 12
2 + 12 ≤ (1) = 0，
≤ 1 1所以 2 ( )，当且仅当 = 1 时取到等号，
1 2 1 1 1 1 1
由于 1 > 1，因此 = ( 2 )ln 1 1 < 2×2 ( 1 ) 1 = 4 ( 1 )，
因此 1 1 1 1 1 1 =2 ( ) = =2 4 ( 1 ) = 4 (1 ) < 4，即

=2 >
1
4，
3 3
那么 1 + =2 > 4，所以数列前 项和 > 4，
所以 ln( ! ) ( + 12 ) + >
3
4．
第 7页，共 7页

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