资源简介

2024-2025 学年贵州省毕节市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 4,0,1,2,4}， = { | 3 = 4 }，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {0,2} C. {1,2,4} D. {2,4}
2.下列函数是奇函数的是( )
A. ( ) = B. ( ) = 2 C. ( ) = 3 D. ( ) = lg 1 1+
3 1.已知幂函数 = ( )满足 (4) = 2，则下列结论正确的是( )
A. = ( )在 上单调递减 B. = ( )的图象关于 轴对称
C. = ( )的图象过点(0,0) D. ( ) < (3)
4.函数 ( ) = (4 ) 1 的最大值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.下列选项正确的是( )
A.如果直线 ， 和平面 满足 // ， // ， ，那么 //
B.如果直线 ， 和平面 满足 ⊥ ， ⊥ ，那么 //
C.如果直线 ， 和平面 ， 满足 ， ， // ，那么 //
D.如果直线 ， 和平面 ， 满足 ， ， // ， // ，那么 //
6.已知函数 ( ) = 3 2 + 2 2 1，则下列结论正确的是( )
A. 函数 ( )的最小正周期为2
B.函数 ( )的最大值为 1
C.把函数 ( ) 的图象向右平移6个单位长度得 = 2 2 的图象
D. ( ) 函数 在区间[ 6 , 3 ]上单调递减
7.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线 与
所成角的大小为( )
A. 0°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
第 1页，共 8页
8.已知函数 ( ) = 3 + 3 + 1， ( ) = 3 + 3 + 1， ( ) = log3 + 3 + 1 的零点分别为 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ( 2,1)， (1,2)， (0,5)， ( 3,4)，则( )
A. | | = 2 5 B. ⊥
C. 与 的夹角为 60° D. //
10.已知 为虚数单位，下列选项中正确的是( )
A.若复数( 2 2 3) + ( 3) ( ∈ )是纯虚数，则 = 1
B.已知复数 1， 2，若| 1| = | 2|，则 21 = 22
C. (1 + )2026 = 21013
D.若 1 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 = 2
11.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，收集到一组数据(单位： )，其样本容量为 49，经计
算得，该样本的平均数为 60，方差为 50.检查时发现在收集这些数据时，遗漏了一个数据 60，并将一个数
据 70 错记为 50，将另一个数据 70 错记为 90.对遗漏和错误的数据进行更正后，重新计算得新样本的平均

数为 ，方差为 2，则( )

A. = 60 B. > 60 C. 2 = 33 D. 2 = 61
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 2 2 1的定义域为______．
13.给定函数 ( ) = 2 ， ( ) = 2， ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的最大
者，记为 ( ) = { ( ), ( )}，则 (3)的值为______．
14.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且四个顶点 ， ， ， 在同一个
平面内，四边形 为正方形，如果八面体的表面积为 800 3，那么这个八
面体的外接球的体积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年，某校举办“爱我中华”为主题的才艺展示海选
活动，来自全校各年级的50 名选手同台竞技，他们的成绩在50 100 分之间，将其成绩分成[50,60)，[60,70)，
第 2页，共 8页
[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，其频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第 75 百分位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代
替)．
16.(本小题 15 分)
某校为选拔足球特长生，特设置第一轮足球理论与第二轮足球技能两轮选拔考试.每位学生均需要参加两轮
2 3
选拔且两轮选拔均通过，则获得特长生资格.在第一轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是3，5；在
3 3
第二轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是5，4，甲、乙两名学生在每轮选拔中是否通过互不影响．
(1)甲、乙两名学生谁获得特长生资格的概率最大？请说明理由；
(2)求甲、乙两名学生中至少有一人获得特长生资格的概率．
17.(本小题 15 分)
如图一，在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点.若沿 ， 及 把这个正方形折成一个四面体，
使 ， ， 三点重合，重合后的点记为 (如图二)．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 2 = 3 2 + 6 2B.
(1)求证： 2 = 3 ；
(2)点 在边 上，使得 = 2 = 2 ，求 cos∠ ．
第 3页，共 8页
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( )是定义域为 的偶函数，当 ≥ 0 时， ( ) = 2 ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断函数 ( ) 1在区间(0, 2 )上的单调性，并用定义法给出证明；
(3)令 ( ) = ( ) + 1 1， ∈ ( 2 , + ∞)，求不等式 (2
) < (1 + 21 )的解集．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0,1) ∪ (1, + ∞)
13.9
14.8000 2 3
15.(1)由题意知 0.01 × 10 + 10 + 0.03 × 10 + 0.025 × 10 + 0.015 × 10 = 1，
解得 = 0.02；
(2)由频率分布直方图可知，成绩在 80 分以下的频率为：
0.01 × 10 + 0.02 × 10 + 0.03 × 10 = 0.6，
成绩在 90 分以下所占比例为：
0.01 × 10 + 0.02 × 10 + 0.03 × 10 + 0.025 × 10 = 0.85，
所以第 75 百分位数在[80,90)内，设第 75 百分位数为 ，
所以 0.6 + 0.025 × ( 80) = 0.75，解得 = 86，
即样本数据的第 75 百分位数为 86．

平均数为： = 55 × 0.01 × 10 + 65 × 0.02 × 10 + 75 × 0.03 × 10 + 85 × 0.025 × 10 + 95 × 0.015 × 10 =
76.5，
即样本数据的平均数为 76.5．
16.(1)设事件 ， ( = 1,2)分别表示甲、乙两名学生在第 轮选拔中通过，
事件 =“甲获得特长生资格”，事件 =“乙获得特长生资格”，
第 5页，共 8页
由题意得 ( 2 3 3 31) = 3， ( 1) = 5， ( 2) = 5， ( 2) = 4，
∴ ( ) = ( 1 2) = ( 1) (
2 3 2
2) = 3 × 5 = 5，
( ) = ( 1 2) = ( 1) ( 2) =
3 × 3 = 95 4 20，
∵ ( ) > ( )，
∴乙获得特长生资格的概率更大；
(2)设事件 =“甲、乙两名学生至少有一人获得特长生资格”，
由(1) 2 9知 ( ) = 5， ( ) = 20，
∴甲、乙两名学生都没获得特长生资格的概率为：
[1 ( )] × [1 ( )] = (1 25 ) × (1
9
20 ) =
33
100，
∴ ( ) = 1 33 67100 = 100．
17.(1)证明：由题意得 ⊥ ， ⊥
又因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)取 的中点为 ，连接 ， ，
因为 ， 分别是 ， 的中点
所以 = ， = ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以∠ 是二面角 的平面角，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
设正方形 的边长为 4，
所以 = = 2， = 2 2， = 2， = 4，
在 △ 中， = 2 + 2 = 42 + ( 2)2 = 3 2，
第 6页，共 8页
所以 sin∠ = 2 2， = 3
即二面角 的正弦值为2 2．
3
18.(1)证明：因为 2 2 = 3 2 + 6 2 ，
可得 2 2 = 6 + 6 2 ，
可得sin2 = 3 ( + ) = 3 ( + )，
即sin2 = 3 ，
由正弦定理得， 2 = 3 ；
(2)解：因为 = 2 = 2 ，
2 1 1
所以 = 3 ， = 3 ， = 3 ，
2+ 2 2
1 2+4 2 2
在△ 中，由余弦定理可得 cos∠ = 9 92 = 2 1
，
3
2
3
1 2+1 2 2
同理可得 cos∠ = 9 91 1 ，2 3 3
而 cos∠ + cos∠ = 0，
化简整理得 2 = 2 2 + 2，
而 2 = 3 ，所以 3 = 2 2 + 2，
解得 = 或 = 2 ，
= = 3 cos∠ =
2+ 2 2 2= +3
2 2 3
当 时， ， ，
2 2 3 2 = 2
2 2 2 2 2 2
当 = 2 时， = 6 ，cos∠ = + = 4 +6 3 62 2×2 6 2 = ，8
综上 cos∠ = 3或3 6．2 8
19.(1)根据题意，设 < 0，则 > 0，
则 ( ) = 2 + ，
又由 ( )是定义域为 的偶函数，
则 ( ) = ( ) = 2 + ，
2 + , < 0
综合可得： ( ) = 2 ． , ≥ 0
第 7页，共 8页
(2) (1) ∈ (0, 1 ) ( ) = 2 = ( 1由 知，当 时， )22 2
1
4，
所以函数 ( )在区间(0, 12 )上单调递减，
证明如下：
设 11， 2为任意实数，且 0 < 1 < 2 < 2，
由 ( 1) ( 2) = ( 2 ) ( 21 1 2 2) = ( 1 2)( 1 + 2 1)，
1
又由 0 < 1 < 2 < 2，则 1 2 < 0， 1 + 2 1 < 0，
则有( 1 2)( 1 + 2 1) > 0，
即 ( 1) ( 2) > 0，
1
故函数 ( )在区间(0, 2 )上单调递减．
(3) 1根据题意，当 ∈ ( 2 , + ∞)时， ( ) = ( ) + 1 = (
1
2 )
2 + 3 14在( 2 , + ∞)上单调递增，
2 > 12
若 (2 ) < (1 + 21 )，则有 1 + 21 > 1 ，2
2 < 1 + 21
解可得： 1 < < 1，
故不等式的解集为( 1,1)．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑