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2024-2025 学年贵州省黔南州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < ≤ 4}， = { | 2 > 0}，则 ∩ =( )
A. ( 1,4] B. ( 1,4) C. (2,4) D. (2,4]
2.样本数据 2，3，6，8，9，10 的中位数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3.在△ 中， 为边 上的一点，且 = 3 ，则 =( )
A. 1 + 3 B. 3 + 1 3 4 4 4 4 C. 8 +
5 D. 1 28 3 + 3

4.从 0～9 这 10 个数中随机选择一个数，则事件“这个数平方的个位上的数字是 6”的概率为( )
A. 1 1 3 210 B. 5 C. 10 D. 5
5.已知圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，母线长为 2，则圆台的体积为( )
A. 3 3 B. 8 3 3 C.
7 3
3 D. 2 3
6.某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级 500 名学生观看比赛的情况，该
校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为 50 的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下：
观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7
观看人数所占百分比 7% 18% 15% % 10% 14% 15% 5%
从表中可以得出正确的结论为( )
A.估计观看比赛场数的极差为 6
B.估计观看比赛场数的众数为 2
C.估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 200 人
D.估计观看比赛不超过 2 场的学生概率为 0.4
7.如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高 ，选取与塔底 在同一平面的两个测量基点 与 .现
测量得∠ = 30°，∠ = 120°， = 10 ，在点 处测得塔顶 的仰角为 60°，则塔高 =( )
A. 20
B. 20 3
C. 30
D. 30 3
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8.函数 ( ) = [ ]的函数值表示不超过 的最大整数，例如，[ 3.5] = 4，[2.1] = 2，则函数 ( ) = [ ]
的值域为( )
A. [0,1) B. (0,1] C. ( 1,0) D. ( 1,1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 1 + 2 ( 是虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. | | = 5 B. 的虚部是 2

C.复数 的共轭复数为 = 1 + 2 D.复数 在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知事件 ， 满足 ( ) = 0.1， ( ) = 0.6，则下列说法正确的是( )
A.事件 与事件 可能为对立事件
B.若事件 与事件 相互独立，则它们的对立事件也相互独立
C.若事件 与事件 互斥，则 ( ∪ ) = 0.7
D.若事件 与事件 相互独立，则 ( ) = 0.06
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是 1， 1，
1 1的中点， 是侧面 1 1内的动点(含边界)，则下列结论正确的是( )
A. ， 1， ， 四点共面
B.异面直线 1与

1所成的角为4
C.当点 在线段 1 上运动时，三棱锥 1 的体积为定值
D. 2 当 = 2 2时，点 的运动轨迹的长度为 3
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.已知 2为锐角，且 = 3，则 = ______．
13.在一次猜灯谜活动中，共有 10 道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了 8 道，乙同学猜对了
4 道，假设猜对每道灯谜是等可能的.若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为______．
14.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱
柱 1 1 1为一“堑堵”， 是 1的中点， 1 = = = 4，则该“堑
堵”的外接球的表面积为______；在过点 且与直线 1平行的截面中，当截面图
形为等腰梯形时，该截面的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = lg(1 + ) lg(1 )．
(1)求函数 ( )的定义域 ；
(2)判断函数 ( )的奇偶性，若 ( ) = 2，求 ( )的值．
16.(本小题 15 分)
已知平面向量 = (1,2), = (3, ), = (2, )，且 // , ⊥ ．
(1)求 和 的坐标；
(2)求向量 2 与向量 + 的夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
在△ 中， = 3，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题.条件①： =
3 ；条件②：( )2 = 2 ．
(1)若 = 2，求△ 的面积；
(2)求 + 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2025 年 7 月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行.志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都
匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组
[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方
图．
(1)求 的值．
(2)估计这 100 名候选者面试成绩的平均数和第 60 百分位数(保留两位小数)．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者.若这 100 名面试者中第四组面试者
的面试成绩的平均数和方差分别为 80 和 15，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 90 和 20，
据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差．
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19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ⊥底面 ， ， 分别为线段 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥平面 ；
(3)若 = 2，∠ = 60°，记 与平面 所成的角为 ，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 52
13.1425
14.48 6 3
15.(1) 1 + > 0由题可得： 1 > 0，解得 1 < < 1，
则函数 ( )的定义域为 = ( 1,1)，
(2)由(1)知函数 ( )的定义域关于原点对称，
又 ( ) = lg(1 ) lg(1 + ) = [lg(1 + ) lg(1 )] = ( )，
所以函数 ( )为奇函数，
又 ( ) = 2，所以 ( ) = ( ) = 2．
16.(1)因为 // ，所以 2 × 3 = 0，解得 = 6，可得 = (3,6)，
根据 ⊥ ，可得 1 × 2 + 2 = 0，解得 = 1，可得 = (2, 1)；
(2)因为 2 = (2,4)， + = (5,5)，
所以 2 ( + ) = 2 × 5 + 4 × 5 = 30，|2 | = 4 + 16 = 2 5，| + | = 25 + 25 = 5 2，
2 (cos < 2 + >=
+ ) 30 3 10
可得 ， = = ，
|2 | | + | 2 5×5 2 10
即向量 2 3 10与向量 + 的夹角的余弦值为 10 ．
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17.(1)选条件①： = 3 ，由正弦定理得 = 3 ，
因为 ∈ (0, )，所以 > 0，可得 = 3，
因为 ∈ (0, ) ，所以 = 3，

在△ 中，当 = 3, = 2, = 3时，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
即 3 = 2 + 4 2 × × 2 × 12，解得 = 1，
1
所以 △ = 2 =
1 × 1 × 2 × sin = 32 3 2 ；
选条件②：因为( )2 = 2 ，整理得 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 ，
可得 = 12，
因为 ∈ (0, )，所以 = 3，
在△ 中，当 = 3, = 2, = 3时，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
得 3 = 2 + 4 2 × × 2 × 12，可得 = 1，
= 1 = 1 × 1 × 2 × sin = 3所以 △ 2 2 3 2 ；
(2) 解法一：由题设及(1)可知 = 3 , = 3．

由余弦定理，得( 3)2 = 2 + 2 2 = 2 + 23 = ( + )
2 3 ≥ ( + )2 3 ( + 22 ) =
( + )2
4 ，
解得 + ≤ 2 3，当且仅当 = = = 3时等号成立，
由三角形的三边关系可知 + > = 3，
所以 3 < + ≤ 2 3，
即 + 的取值范围为( 3, 2 3]．

解法二：由题设及(1)可知 = 3 , = 3．
3
由正弦定理，得 = = = 3 = 2，
2
所以 = 2 ， = 2 ，
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+ = 2( + ) = 2[ + sin( + 得 3 )]
1 3
= 2( + 2 + 2 )
= 3 + 3
= 2 3sin( + 6 )，
= 5 因为 3，则 + 6 ∈ ( 6 , 6 )，
所以 sin( + 6 ) ∈ (
1
2 , 1],
3 < 2 3sin( + 故 6 ) ≤ 2 3，
所以 3 < + ≤ 2 3．
即 + 的取值范围为( 3, 2 3]．
18.(1)由频率分布直方图可得：10 × (0.005 + + 0.045 + 0.020 + 0.005) = 1，解得 = 0.025．
(2)由频率分布直方图易知每组的频率依次为 0.05，0.25，0.45，0.20，0.05，
所以这 100 名候选者面试成绩的平均数约为：

= 50 × 0.05 + 60 × 0.25 + 70 × 0.45 + 80 × 0.20 + 90 × 0.05 = 69.50．
因为 0.05 + 0.25 = 0.30 < 0.60，0.05 + 0.25 + 0.45 = 0.75 > 0.60，
设这 100 名候选者面试成绩的第 60 百分位数为 ，则 ∈ [65,75)，
则 0.30 + ( 65) × 0.045 = 0.60，解得 ≈ 71.67，
故第 60 百分位数为 71.67．

(3)设第四组、第五组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为 1, 2 22, 1, 2，
0.20 4
且两组频率之比为0.05 = 1，

则第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为 = 45 × 80 +
1
5 × 90 = 82，
第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为
4 1
2 = 25 [ 1 + ( 1 )
2] + 5 [
2
2 + ( 2 )2]
= 4 [15 + (80 82)2] + 15 5 [20 + (90 82)
2] = 32，
故估计第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差是 32．
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19.(1)证明：如图，取 的中点为 ，连接 ， ，
又 ， 分别为线段 ， 的中点，四边形 为菱形，
1 1
所以 // 且 = 2 ， // 且 = 2 ，
所以 // 且 = ，所以四边形 为平行四边形，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)证明：如图，连接 ， ，
因为四边形 为菱形，所以 ⊥ ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
又 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(3)设 = ， > 0．
因为四边形 为菱形，而∠ = 60°，故 BD= = = ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
故 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ．
又因为 = 2，所以 = = = 2 + 4．
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而 = 1 2 1 2 1 3，所以 2△ = 2 × × + 4 4 = 2 4 + 4．
设 为点 到平面 的距离，
1 1 1 3
所以 = 3 ×
2
△ × = 3 × 2 4 + 4 × ．
又 1 2 2 3 2 3 2 = 3 △ = 3 △ = 3 × 4 × = 6 ．
因为 = ，
1 × 1 3 2 3所以 23 2 4 + 4 × = 6 ，
解得 = 3 = 2 3 ．
3 2+4 3 2+164
而 与平面 所成的角为 ，
所以 = = 2+4
2 3 1 2
= = 2 3
3 2 +16 2 +4 (3 2 +16)( 2 +4)
2 1
= 2 3 3 4 +28 2 +64 = 2 3 3 2 +64 2 +28
1 1
≤ 2 3 = 2 3
16 3+ 28
2 3 2 64 2 +28
= 2 3 1 = 2 3(2 3+4)2 2 3+4 = 2 3 3，
1
当且仅当 4 = 64 64 43，即 = ( 3 ) 时等号成立，
所以 = 2 3 3．
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