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2024-2025 学年安徽省六安一中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 + ≤ 0}，集合 = { | 1 > 1}，则集合 ∪ =( )
A. ( 1,1) B. [ 1,1) C. [ 1,0] D. [ 1,0)
2.随机变量 ～ (2, 2)，若 (1 ≤ ≤ 2) = 0.3，则 ( ≥ 3) =( )
A. 0.1 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3
3 ( ) = ( )2ln 2 1.已知函数 2 +1是奇函数，则实数 的值为( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 0.5
4.函数 = 2| | 2 的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，
即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，159 = 2 × 82 + 3 × 8 + 7，用八进
制表示 159 这个数就是 237.现用八进制表示十进制的719，则这个八进制数的最后一位为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
6.设函数 ( ) = (1 2 22 +1 )，若 = (ln 3 )， = (lg
4 )， = (31.29 )，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7 1 2 .已知函数 ( ) = + 2，若关于 的方程 (|2
1|) + |2 1| 3 = 0 有三个不同的实数解，实数 的
取值范围是( )
A. (0, + ∞) B. ( ∞,0) C. (0, + ∞) ∪ { 12 } D. ( ∞,0) ∪ {
1
2 }
8.定义在 上的函数 ( )满足 1 < ′( ) < 2， ( 10) = 0， (50) > 100，则下列不等式一定成立的是( )
A. (0) > 15 B. (10) < 30 C. (30) > 60 D. (40) < 90
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
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A.对于两个分类随机变量 ， ，利用 2进行独立性检验时， 2的值越小，说明有更大的把握认为两个分类
变量独立
B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
C.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的绝对值越接近于 0
D.用决定系数 2来比较两个模型的拟合效果， 2越大，模型的拟合效果越好
10.已知函数 ( ) = | | ， ( ) = ，则( )
A.若 ( )存在两个零点 1， 2，则 1 2 = 1
B.若 ( ) = ( )仅有一解，则 = 1
C.用[ ]表示不大于 的最大整数，若 ( ) = ([ ])，则 ( + 1) > ( )
D.若方程 ( ) + ( ( ))2 = 0 无解，则 的取值范围是( ∞, 1+ 22 ]
11.已知函数 ( )， ( )的定义域为 ， ′( )为 ( )的导函数，且 ( ) + ′( ) 8 = 0， ( 2) ′(6
) 8 = 0，若 ( )为偶函数，则下列成立的有( )
A. ′( )为奇函数 B. ′( 4) = 1 C. (1) + (3) = 16 D. 20 =1 ( ) = 160
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若命题 ： ∈ ，| | + > 0，则该命题的否定是______．
13 1 1.已知实数 ， 满足 = , = ，则 = ______．
14.一个箱子里有五个球，分别以 1 5 编号，若有放回的取四次，每次取一个，记至少取出一次的球的个
数为 ，则 ( = 2) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了 200 名新能源汽车车主，得到如下
数据：
对续航里程满意 对续航里程不满意
对充电设施满意 80 30
对充电设施不满意 40 50
(1)任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为 ，事件“该车主对充电设施满意”
为 ，求 ( )和 ( | )；
(2)根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有
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关？
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = ( + )，曲线 = ( )在点( 2, ( 2))处的切线与 = 5 1 平行．
(1)求曲线在点( 2, ( 2))处的切线方程；
(2)求 ( )的单调区间和极值．
17.(本小题 12 分)
2025 年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点.参与表演的机器人 1 由中国某科技企业制
造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控、物流运输、安防与救援等场景.现统计
出机器人 1 在某地区 2024 年 2 月至 6 月的销售量，数据如表：
月份 2 3 4 5 6
销售量 45 55 70 110

用最小二乘法得到 1 的销售量 关于月份 的回归直线方程为 = + 5.6，且相关系数 = 0.98，
销售量 的方差 2 = 540．

(1)求 的值(结果精确到 0.1)；
(2)( )求 的值；
( )现从这 5 个月份中随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 个月份，设抽取到销售量大于 60 的月份次数为
，求 的分布列和方差．

= =1 ( )( )
( )( )
附：回归系数 ，相关系数 = =1
, 54 ≈ 7.35， 270 ≈ 16.43．
=1 ( )2

=1 ( )2

=1 ( )2
18.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) + 的定义域为( 1,1)，对任意 ， ∈ ( 1,1)，都有 ( ) ( ) = ( 1+ )，并满足对任意 1，
2 ∈ ( 1,0]
( ) ( )
，当 1 21 ≠ 2时，都有 1
> 0．
2
(1)求 (0)的值，判断 ( )的奇偶性并给出证明；
(2)解不等式： (1 + ) ( + 12 ) > 0；
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(3)记 { , }表示 ， 中较大的值，若对 ∈ ( 1,1)，都有 { ( ), 2 + | | + 19 } ≥ 0.求实数 的取
值范围．
19.(本小题 12 分)
甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有 ( ≥ 1, ∈ )
个红球和 4 个白球，乙口袋有 ( ≥ 1, ∈ )个红球和 2 个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球 2 次，
每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球 2 次，每次摸出一个球．
(1)当 = = 4 时．
( )求小明 4 次摸球中，至少摸出 1 个红球的概率；
( )设小明 4 次摸球中，摸出红球的个数为 ，求 的分布列和数学期望 ( )；
(2)当 = 2 时，设小明 4 次摸球中，恰有 3 次摸出红球的概率为 ，则当 为何值时， 最大？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∈ ，| | + ≤ 0
13.1
14. 28125
15.(1)依题意， ( ) = 80+40200 = 0.6，
( | ) = ( ) ( ) 80 8 ( ) = ( ) = 80+30 = 11；
(2)零假设 0：消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率无关，
2 = 200×(80×50 40×30)
2
由已知数据得 110×90×120×80 ≈ 16.498 > 6.635 = 0.01，
则依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，可以认为 0不成立，
即认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关．
16.(1)由于函数 ( ) = ( + )， > 0. 1因此导函数 ′( ) = + + = + + 1, > 0．
根据题意 ′( 2) = 5 2 + + 1 = 5 = 2.因此函数 ( ) = (2 + )；
因此 ( 2) = 2(2 + 2) = 4 2，
因此切线为 = 5 2．
(2)由于函数 ( ) = (2 + )， > 0.因此导函数 ′( ) = + 3， > 0．
由 ′( ) < 0 + 3 < 0 0 < < 3；由 ′( ) > 0 + 3 > 0 > 3，
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所以函数 ( )在(0, 3)上单调递减，在( 3, + ∞)上单调递增．
因此当 = 3时，函数取得极小值，且 ( 3) = 3 × [2 + ( 3)] = 1 3，无极大值．
17. (1) 1根据题意可知， = 5 (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 4,
5
=1 ( )
2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10，
1
由 2 5 2 = 5 =1 ( ) = 540，得
5
=1 ( )
2 = 2700，
5 =1 ( ∵ =
)( 5 ) =1 ( )( )
5
=
( )25 ( )2 10×2700
= 0.98，
=1 =1

∴ 5 =1 ( )( ) = 0.98 × 10 270 ≈ 161.014，
5
∴ = =1
( )( ) ≈ 161.0145 2 ≈ 16.1； =1 ( ) 10

(2)( ) ∵回归直线 = 16.1 + 5.6 过样本中心点( , )，且 = 4，∴ = 16.1 × 4 + 5.6 = 70，
45+55+70+ +110
即 5 = 70，解得 = 70；
( ) ∵这 5 个月中销量大于 60 的月份有 3 个，
∴ 3每次抽取到销量大于 60 的月份的概率为5，
∴ (3, 35 )，
∴ ( = 0) = 03(
3
5 )
0(1 3 )3 = 8 1 3 1 3 2 365 125 , ( = 1) = 3( 5 ) (1 5 ) = 125，
( = 2) = 2( 3 )2(1 3 ) = 543 5 5 125 , ( = 3) =
3 3
3( 5 )
3(1 3 0 275 ) = 125，
∴ 的分布列为
0 1 2 3
8 36 54 27
125 125 125 125
∴ ( ) = 0 × 8 36 54 27 9125 + 1 × 125 + 2 × 125 + 3 × 125 = 5，
3 2 18
根据二项分布的方差公式， ( ) = 3 × 5 × 5 = 25．
18.(1)根据题意， ( )为偶函数，
证明如下：因为 ( )的定义域是( 1,1)，关于原点对称，
令 = = 0，则 (0) (0) = (0)，所以 (0) = 0，
令 = ，则 ( ) ( ) = ( 1 2 ) = (0) = 0，
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所以 ( ) = ( )，所以 ( )为偶函数．
(2) ( ) ( )根据题意，对任意 1， 2 ∈ ( 1,0]，当 ≠ 时，都有 1 21 2 > 0．1 2
不妨设 1 < 1 < 2 ≤ 0，即 1 2 < 0，必有
( 1) < ( 2)，
则 ( )在( 1,0]上单调递增，又 ( )是定义在( 1,1)上的偶函数．
所以 ( )在[0,1)上单调递减；
对于不等式 (1 + ) ( + 12 ) > 0，
由于 ( ) 1 1为定义域为( 1,1)的偶函数，则有 (1 + ) > ( + 2 ) = ( 2 )，
又由 ( )在[0,1)上单调递减，
1 < 1 + < 1
则有 1 < +
1
2 < 1 1 1，解得 2 < < 4．
|1 + | < | 12 |
故所求不等式解集为{ | 1 < < 12 4 }．
(3)根据题意，由(1)(2)知 ( ) = 0，
∈ ( 1,1), 2 + | | + 19 ≥ 0，令 = | | ∈ [0,1),
2 + + 19 ≥ 0,
当 = 0 时， ∈ 1 1；当 ≠ 0 时， ≥ ( + 9 )恒成立，故 ≥ ( + 9 ) ．
1 1 2 1 2
因为 + 9 ≥ 2 9 = 3，当且仅当 = 3时等号成立，故 ≥ 3．
2
综上，实数 的取值范围是[ 3 , + ∞)．
19.(1)( )设事件 ：小明 4 次摸球中，至少摸出 1 个红球，
= = 4 4 1，故从甲口袋中摸出白球的概率为8 = 2，
2 1
从乙口袋中摸出白球的概率为6 = 3，
则 ( ) = 1 2( 1 )2 2( 1 )2 352 2 2 3 = 36．
( )由题可知， 可能的取值为 0，1，2，3，4，
1 1
从甲口袋每次摸到红球的概率为2，每次摸到白球的概率为2，
2 1
从乙口袋每次摸到红球的概率为3，每次摸到白球的概率为3，
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( = 0) = ( 1 2 1 2 12 ) × ( 3 ) = 36，
( = 1) = 1 × 1 × 1 1 2 1 1 1 2 1 12 2 2 × ( 3 ) + 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 6，
( = 2) = ( 1 22 ) × (
1 2 1 2 2 2
3 ) + ( 2 ) × ( 3 ) +
1
2 ×
1 × 1 × 1 × 2 1 132 2 2 3 × 3 = 36，
( = 3) = 12 ×
1 × 1 22 2 × ( 3 )
2 + ( 12 )
2 × 1 × 2 × 1 = 12 3 3 3，
( = 4) = ( 1 )2 × ( 2 )2 = 12 3 9，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
1 1 13 1 1
36 6 36 3 9
所以 ( ) = 0 × 1 1 13 136 + 1 × 6+ 2 × 36 + 3 × 3 + 4 ×
1
9 =
7
3．
(2)小明 4 次摸球中，恰有 3 次摸出红球的概率为：
1 4 2 2 = 2 +4 × +4 ( +2 )
2 + ( 2 +4 ) ×
1 2 8 +4
2 +2 × +2 = ( +4)2( +2)2，
因为 = 2 ，
= 8
2+4 2 16 3+16 3 8 3
所以 ( +4)2( +2)2 = (2 +4)2( +2)2 = ( +2)4，
8 3
令 ( ) = ( +2)4 , > 0，
( ) = 24
2( +2)4 8 3×4( +2)3 8 3+48 2 8 2( 6)
则 ′ ( +2)8 = ( +2)5 = ( +2)5 ，
所以当 0 < < 6 时， ′( ) > 0；当 > 6 时， ′( ) < 0；
8 3
所以函数 ( ) = ( +2)4在(0,6)上单调递增，在(6, + ∞)上单调递减，
27
所以当 = 6，即 = 12 时， 最大，最大值为64．
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