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2024-2025 学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |2 < < 5}， = { |2 ≤ 8}，则 ∪ =( )
A. { |2 < ≤ 3} B. { | < 5} C. { |3 ≤ < 5} D. { | ≤ 3}
2.某班有 60 名同学，一次数学考试(满分 150 分)的成绩 服从正态分布 (90, 2)，若 (80 ≤ ≤ 100) = 0.6，
则本班在 100 分以上的人数约为( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

3.已知 与 之间具有相关关系，并测得如下一组数据， 与 之间的经验回归方程为 = 0.7 + 10.3，则
的值为( )
6 8 10 12
6 5 2
A. 3 B. 3.3 C. 4 D. 4.3
4 1 4.在公差不为 0 的等差数列{ }中，若 3是 与 的等差中项，则 + 的最小值为( )
A. 3 5 6 92 B. 3 C. 5 D. 5
5.已知 = 1 2 是减函数，则函数 ( ) = | |( )的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.已知点( , 9)在幂函数 ( ) = ( 2) +1的图象上，设 = ( )， = ( 2)， = (3
2)，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
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7.已知数列{ }满足 = ( 1) 2，某同学将其前 20 项中某一项正负号写错，得其前 20 项和为 82，则写
错之前这个数为( )
A. 64 B. 81 C. 100 D. 121
8.已知函数 ( ) = +1 + ，有且只有一个负整数 0，使 ( 0) ≤ 0 成立，则 的取值范围是( )
A. ( 23 ,
1
2 ] B. (0,
1 ] C. [ 22 3 ,
1
2 ) D. [0,
1
2 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列{ }的前项 和为 ，若 1 = 1, +1 = 2 ( ∈ )，则下列说法正确的是( )
A. { }为等比数列 B. = 3
1, = 1
C. 既有最大值也有最小值 D. = 2 3 2, ≥ 2
10.已知函数 ( ) = ( 4) ，下列说法正确的是( )
A. lim (1+ ) (1 ) = 4
→0 3 3
B.当且仅当 > 3时，方程 ( ) = 0 有两个不等的实根
C. ( )+ ( ) + 对区间(2, + ∞)上任意两个实数 ≠ ，都有 1 2 > ( 1 21 2 2 2 )
D.设 ( ) = ( ) 13
3 + 3 22 ， ( )只有一个极值点，则实数 的范围为[0, ]
11.已知甲口袋中装有 3 个红球，1 个白球，乙口袋中装有 2 个红球，1 个白球，这些球只有颜色不同.先从
甲口袋中随机取出 1 个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出 1 个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球
分别为事件 1、 2，从乙口袋中取出的球是红球为事件 ，则下列结论正确的是( )
A. ( 3 12) = 4 B. ( | 2) = 2 C. ( 1 ) =
9 2
16 D. ( 2| ) = 11
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 1.“ > 2”是“ < 2”的______条件．
13.设函数 ( )在( , )上的导函数为 ′( )， ′( )在( , )上的导函数为 ″( )，若在( , )上 ″( ) < 0

恒成立，则称函数 ( )在( , )上为“凸函数”，已知 ( ) = 22 在(1,2)上为“凸函数”，则实
数 的取值范围是______．
14.在 维空间中( ≥ 2, ∈ )，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维坐标( 1, 2, , )，
其中 ∈ {0,1}(1 ≤ ≤ ， ∈ )，定义：在 维空间中的两点( 1, 2, , )与( 1, 2, , )的曼哈顿距离为
| 1 1| + | 2 2| + + | |，若在 6 维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 ( ) = ______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知命题 ： ∈ ，不等式 2 2 + 4 + 7 > 0 恒成立；命题 ： ∈ ，使 2 2 + + 2 < 0 成
立．
(1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 ， 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、
呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，
某调查小组随机抽取了某市的 100 名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不
少于 4 项的称为“比较了解”，少于 4 项的称为“不太了解”.调查结果如表：
0 项 1 项 2 项 3 项 4 项 5 项 5 项以上
男生(人) 1 6 6 7 20 17 3
女生(人) 2 5 5 8 10 8 2
(1)完成如下 2 × 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”
比较了解 不太了解 合计
男生
女生
合计
(2)在抽取的 100 名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个 10 人的样本，从这个样本中随机抽
取 4 人，记 为这 4 人中女生的人数，求 的分布列和数学期望．
附：
( 2 ≥ 0) 0.100 0.050 0.010 0.001
0 2.706 3.841 6.635 10.828
2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
17.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 1 + 5 = 8， 6 = 33．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 1记数列{ }的前 项和为 ，若 < 对 ∈
恒成立，求 的取值范围．
+1 +2
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18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (1 ) 1．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( ) ≥ 1，求 的值；
(3)当 > 1 时，证明： ( ) = ( ) + 有 2 个零点．
19.(本小题 17 分)
甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 1 个黑球和 2 个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个
球交换放入另一个口袋为一次操作，经过 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 ．
(Ⅰ)写出 1的分布列并计算 ( 1)；

(Ⅱ)
1, = 0
某人重复进行了 100 次操作，记 = 0, ≠ 0，( ∈ , 1 ≤ ≤ 100)，求该数列{ }的前 100 项和 100
的最大值；
(Ⅲ)定性分析当交换次数趋向于无穷时， ( )趋向的值. (简要说明你的理由)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充分不必要
13.[ 2 12 , + ∞)
14.6421
15.解：(1)命题 ： ∈ ，不等式 2 2 + 4 + 7 > 0 恒成立；
若 为真命题，则 1 = 16 4 × 2 × (7 ) = 8 40 < 0，
解得 < 5，所以 的取值范围是( ∞,5)．
(2)命题 ： ∈ ，使 2 2 + + 2 < 0 成立．
当 为真命题时： 22 = 4 4( + 2) = 4 2 4 8 > 0，
解得 < 1 或 > 2，所以 的取值范围是( ∞, 1) ∪ (2, + ∞)．
当命题 ， 中恰有一个为真命题时，
< 5
① 为真命题， 为假命题，即 1 2，
所以 的取值范围是[ 1,2]．
5
② 为假命题， 为真命题，即 > 2 或 < 1，
所以 的取值范围是[5, + ∞)．
综上， 的取值范围是[ 1,2] ∪ [5, + ∞)．
16.解：(1)依题意填写 2 × 2 的列联表如下：
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比较了解 不太了解 合计
男生 40 20 60
女生 20 20 40
合计 60 40 100
2
2 = 100(40×20 20×20)60×40×60×40 ≈ 2.78 < 3.841，
∴没有 95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．
(2) 40抽取的女生人数为 10 × 100 = 4(人)，男生人数为 10 ×
60
100 = 6(人)．
所以 的可能取值为 0，1，2，3，4，
0 4 1 1 3 ( = 0) = 4 6 = ( = 1) = 4 6 = 8则 ， ，
4 410 14 10 21
2 2 3 3 1 ( = 2) = 4 6 4 6 4
4
= 7， ( = 3) = 4 = ，10 10 35
4
( = 4) = 4 = 1
410 210
，
因此 的分布列为：
0 1 2 3 4
1 8 3 4 1
14 21 7 35 210
数学期望为 ( ) = 0 × 114 + 1 ×
8
21 + 2 ×
3
7 + 3 ×
4 1
35 + 4 × 210 = 1.6．
17.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
又 1 + 5 = 8， 6 = 33，
2
则 1
+ 4 = 8
6 1 + 15 = 33
，

则 1
= 2
= 3 ，
则 = 2+ 3( 1) = 3 5；
(2) (1) 1 = 1 1 1 1由 可得： +1 +2 (3 2)(3 +1)
= 3 ( 3 2 3 +1 )，
= 1 1 1 1 1 1 则 3 (1 4 + 4 7 + . . . + 3 1 3 +1 ) = 3 +1，
又 < 对 ∈ 恒成立，
< (3 5)(3 +1)则 对 ∈
恒成立，
即 < 9 5 12 对 ∈
恒成立，
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5
又当 = 1 时，9 12 取最小值 8，
即 < 8，
即 的取值范围为( ∞, 8)．
18.(1)当 = 2 时， ( ) = 1 2 ，则 ′( ) = 2 1 ，
∴ (1) = 1， ′(1) = 3，
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 + 1 = 3( 1)，
即 3 + 2 = 0．
(2) ( ) 1 +1函数 的定义域为(0, + ∞)，且 ′( ) = = ，
①当 ≥ 0 时， ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 1，∴当 > 1 时， ( ) < 1，不符合题意；
②当 < 0 时，由 ′( ) < 0，得 0 < < 1 1 ，由 ′( ) > 0，得 > ，
∴ ( ) 1在(0, )上单调递减，在(
1
, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) = (
1
) = + ln( )，
∵ ( ) ≥ 1，则其等价于 + ln( ) ≥ 1，即 1 + + ln( ) ≥ 0．
令 ( ) = 1 + + ln( )( < 0)，则 ′( ) = 1 + 1 = +1 ，
∴当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∴ ( ) = ( 1) = 0，因 ( ) ≥ 0 恒成立，故 = 1．
(3)证明： ( ) = ( ) + = 1， ∈ (0, + ∞)．
( ) = 0 +1令 ，得 = 0，
令 ( ) = +1 , ∈ (0, + ∞)，则 ( )与 ( )有相同的零点，
2
且 ′( ) = 1 ( +1) 2 =
+
2 ．
令 ( ) = 2 + ， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = ( 2 + 2 ) + 1 ，
∵当 > 0 时， ′( ) > 0，∴ ( )在区间(0, + ∞)上单调递增，
1 1
又 ( ) = 2 1 < 0， (1) = > 0，∴
1
0 ∈ ( , 1)，使得 ( 0) = 0，
∴当 ∈ (0, 0)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0；
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当 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
∴ ( )在(0, 0)单调递减，在( 0, + ∞)单调递增，
∴ ( )的最小值为 ( ) = 0 0+10 ．0
ln 1
由 ( 2 0) = 0，得 0 0 + 0 = 0，即 0 0 = ln
1
0
，0
令 ( ) = ， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = ( + 1) > 0，则 ( )在(0, + ∞)单调递增．
∵ 1 < 0 < 1，∴ ln
1
> 0，则 ( 0) = (ln
1
0
)，
0
∴ = ln 1 10 ，从而
0 = ， 0 = 0，0 0
∴ ( ) ( ) = 0 +1的最小值 00 = 1 ．0
∵ > 1，∴当 趋近于 0 时， ( )趋近于+∞；
当 趋近于+∞时， ( )趋近于+∞，且 ( ) = 1 < 0，
∴ ( )有 2 个零点，故 ( )有 2 个零点．
19.(Ⅰ)由题意可知， 1的取值为 1，2，3，
则 ( 1 = 1) =
2 × 2 43 3 = 9， ( = 2) =
1 2 2 1 4 1 1 1
1 3 × 3 + 3 × 3 = 9， ( 1 = 3) = 3 × 3 = 9，
所以 1的分布列为：
1 1 2 3
4 4 1
9 9 9
所以 ( 1) = 1 ×
4
9+ 2 ×
4
9 + 3 ×
1 = 59 3；
(Ⅱ)显然 最快出现 0 为 = 2，之后最紧凑的是隔一次出现，
所以 100的最大值为 50；
(Ⅲ) 3当交换次数趋向于无穷时， ( )趋向的值为2，
2 1
可以这样理解，甲盒子的黑球浓度为3，乙盒子的黑球浓度为3，当它们经过无穷多次交换后，即经过充分
的均匀，则两盒的黑球浓度到达平均，
1 3
则甲盒子的黑球个数 3 × 2 = 2．
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