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2024-2025 学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 2 ( 2 + )，则| | =( )
A. 2 B. 4 C. 2 2 D. 2 5
2.已知集合 = { | 2 + = 0}， = {1}.若 ，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
3.若 = 64 ，则 2 =( )
A. 14 B.
3
8 C.
5
8 D.
3
4
4.已知定义在 上的偶函数 ( )满足 ( ) + (2 ) = 4，则 ( 1) =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
5 1.记 为等比数列{ }的前 项和.若 1 = 5 , 3 4 = 5，则 4 =( )
A. 39 B. 156 C. 39 1565 D. 5

6.若数据 1， 2， 3和数据 4， 5， 6的平均数均为 ，方差均为 2，则数据 1， 2， 3， 4， 5， 6的方
差为( )
2
A. 4 B.
2 C. 2 2 D. 4 2
7.若 + 2 > + 2，则( )
A. 2 > > 1 B. > 2 > 1 C. 2 > 1 > D. 1 > 2 >
2 2
8.已知双曲线 ： 2

2 = 1(( > 0, > 0)的右焦点为 ，左顶点为 ，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足
为 .若| | = 3| |，则 的离心率为( )
A. 5 B. 3 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数 ( ) = sin( + ) 3 的图象向右平移6个单位长度，得到函数 ( )的图象，则( )
A. ( )的最小正周期为 2 B. ( )是偶函数
C. ( ) 的图象关于直线 = 6轴对称 D. ( )在( 3 , 3 )上单调递增
10.已知连续型随机变量 服从正态分布 ( , 2)，记函数 ( ) = ( ≥ )，且 ( ) 1的图象关于点(1, 2 )对称，
若存在实数 ，使得 ( ) ≈ 0.97725， ( + 2) ≈ 0.02275，则( )
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(参考数据：若 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545)
A. = 1 B. = 0
C. = 1 D. ( ≥ 12 ) = 0.84135
11.已知 为坐标原点，点 ( 0, 0)在曲线 ：( 2 + 2)2 (10 2 + 2) = 0 上，则下列结论正确的是( )
A.曲线 关于 轴对称 B. 0 ≥ 0
C. ≤ 20 300 27 D. | |
20 30
的最大值为 27
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若曲线 = ln( )与直线 = 1 相切，则 =______．
13.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其
为“赵爽弦图”.如图，边长为 5的正方形 由四个全等的直角三角形与一个小
正方形拼成，且 为 的中点，则 = ______．
14.如图，在四面体 中， = = = 1， = 2， = 2，平面
⊥平面 ，则四面体 外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， (4, )( > 0)为 上一点，且| | = 5．
(1)求 ；
2 2
(2)若点 ( 2,1) 在椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上，且直线 与椭圆 相切，求椭圆 的标准方程．
16.(本小题 15 分)
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 = 1， = 1．
(1)若 = 2 2，求 ；
(2)若△ 为钝角三角形，求△ 面积的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在一次闯关游戏中，某一关有 ， ， 三道题.将这三道题按一定顺序排好后(如第一道题为 题，第二道题
为 题，第三道题为 题)，玩家开始答题.若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第
二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通
过本关，若没有答对，则没有通过本关.假设每名玩家答对 ， ， 三道题的概率分别为 0.2，0.3，0.5.每次
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答题正确与否相互独立．
(1)求玩家通过这一关的概率．
(2)规定：答对 题积 30 分，答对 题积 20 分，答对 题积 10 分.现有两种题序可供选择：①第一道题为
题，第二道题为 题，第三道题为 题；②第一道题为 题，第二道题为 题，第三道题为 题.为了在本关中
得到更多的积分，应该选择哪种题序？
18.(本小题 17 分)
如图，直四棱柱 1 1 1 1的底面 是菱形， 1 = 4， = 2，∠ 为锐角， ， ， 分别是
， ， 1 的中点．
(1)证明： //平面 1 ．
(2)求二面角 1 的余弦值的最大值．
19.(本小题 17 分)
(1) 证明：当 1 < < 2 时， 2sin 2 + 2 > 0．
(2)若 ∈ (0,2), + 2 cos

2 ≥ 0，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.2
14.5
15.(1)因为 (4, )( > 0)为 上一点，且| | = 5，
所以| | = 4 + 2 = 5，
解得 = 2；
(2)由(1)得 (4,4)，
4 1 1
所以直线 的斜率 = 4+2 = 2，
则直线 的方程为 2 + 4 = 0，
2 2
2 + 2 = 1联立 ，消去 并整理得(4 2 + 2) 2 16 2 + 16 2 2 2 = 0，
2 + 4 = 0
此时 = (16 2)2 4(4 2 + 2)(16 2 2 2) = 0，化简得 2 + 4 2 = 16，①
因为点 ( 2,1)在椭圆 上，
4 + 1所以 2 2 = 1，②
联立①②，
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解得 2 = 8， 2 = 2．
2 2
则椭圆 的标准方程为 8 + 2 = 1．
16.(1)因为 2 + 2 = 1，所以 2 + 1 2 2 = 1，即 = sin2A.
因为 ∈ (0, )， ≠ 0，所以 = ，及 = = 1，所以 =

4．
因为 = 1， = 2 2，

所以由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = 1 + 8 2 × 2 2cos 4 = 5，
所以 = 5；
(2)因为 = 1 = 1 2， 4，所以 △ = 2 = 4 ．

= = sin( + )
sin( + )
由正弦定理得： 4 =
sin 4 +cos

4 = 2 2 = 2 + 2 ，
△ < < 3 3 因为 为钝角三角形，所以2 4或2 < = 4 <
3
4，

即2 < <
3
4或 0 < <

4，所以 ∈ ( ∞, 1) ∪ (0,1)，
= 2 2 2所以 2 + 2 ∈ (0, 2 ) ∪ ( 2, + ∞)，
所以 1 1△ ∈ (0, 4 ) ∪ ( 2 , + ∞)．
所以△ 面积的取值范围是(0, 14 ) ∪ (
1
2 , + ∞)．
17.(1)设通关概率为 ( )，未通关概率为 ( )：
则 ( ) = (1 0.2) × (1 0.3) × (1 0.5) = 0.28，
那么， ( ) = 1 ( ) = 1 0.28 = 0.72，
故玩家通过这一关的概率为 0.72；
(2)计算两种答题顺序的期望积分：
顺序① → → ：
答对 题：30 × 0.2，答错 答对 ：20 × 0.8 × 0.3，答错 、 答对 ：10 × 0.8 × 0.7 × 0.5
期望总积分①：= 30 × 0.2 + 20 × 0.8 × 0.3 + 10 × 0.8 × 0.7 × 0.5 = 13.6，
顺序② → → ：
答对 ：10 × 0.5，答错 答对 ：20 × 0.5 × 0.3，答错 、 答对 ：30 × 0.5 × 0.7 × 0.2，
期望总积分②：= 10 × 0.5 + 20 × 0.5 × 0.3 + 30 × 0.5 × 0.7 × 0.2 = 10.1，
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比较结果大小：13.6 > 10.1
故应选择题序①．
18.(1)证明：连接 1， 1， 1，设 1 ∩ 1 = ，连接 ．
在△ 1中， ， 分别是 ， 1的中点，
所以 // 1．
在△ 1中， ， 分别是 ， 1的中点，
所以 // 1，则 // ．
因为 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ．
(2)过点 作 ⊥ 交 于点 ．
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， 1(0,2,4)．
设∠ = ，且 ∈ (0, 2 )，则 = = 2 ， = = 2 ．
设 ( 0, 0, 0)，
= 1则 0 2 = ,
1
0 = 2 ( + ) = 2 ，
即 ( , 2 , 0)，
则 1 = (0,2,4), = ( , 2 , 0)．
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
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⊥ 1 1 = 0 2 + 4 = 0则 ，则 ，所以 ，
⊥ = 0 (sin ) + (2 cos ) = 0
可取 = (2 , , 12 )．
易得平面 的一个法向量为 = (0,0,1)．
1

|cos < , > | = | 2| || | | =
(2 )2 + ( )2 + (12 )
2
1
= 2 = 1 = 1
5 4 +1sin2 1 2 2 5 4 15 4 + sin + ．4 2 4 1 cos2 4
sin2
令 5 4 = ， ∈ (1,5)，
5 4
则1 cos2 =
16 16 16
2+10 9 = 9 ≥ = 4 ( + )+10 2 9 +10
，
当且仅当 5 4 = = 3，即 = 1 2 , = 3时，等号成立，
1 ≤ 1 = 17所以2 5 4 1 1 17 ．
1 cos2
+
4 2 4+4
故二面角 1 的余弦值的最大值为
17．
17
19.(1) 证明：令 ( ) = 2sin 2 + 2，那么导函数 ′( ) = 2 +
2
2 2 cos 2 + 1．
2 2
令 ( ) = ′( )，那么导函数 ′( ) = (2 )sin 4 2 + 2

2．
2 2
2 < 0 由于 4 ，sin 2 > 0，2 2 < 0，因此 ( ) < 0， ( )在(1,2)上单调递减．
又 (2) = 2 × 2 + 2 × 4 + 1 = 2 + 1 < 0， (1) = 2
+ 2 2 cos

2 + 1 = 3，
因此存在 0 ∈ (1,2)，使得 ( 0) = 0，当 0 < < 2 时， ( ) < 0，当 1 < < 0时， ( ) > 0，
因此函数 ( )在( 0, 2)上单调递减，在(1, 0)上单调递增，
由于 (1) = (2) = 0，因此当 1 < < 2 时， ( ) > 0，得证．
(2)由于 ∈ (0,2)， + 2 cos

2 ≥ 0，

因此当 = 1 时，2 cos 2 ≥ 0，
解得 ≤ 2，
因此当 > 2 时，不符合题意，下面证明当 ≤ 2 时符合题意．
+ 2

cos

2 = +
2
(
1
cos

2 + 1)．
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1 cos 由于 2 + 1 > 0
2
，因此当 ≤ 2 时， + (
1
cos

2 + 1) ≥ +
2
2(
1
cos

2 + 1)．
令 ( ) = + 2 2(
1
cos

2 + 1)， ∈ (0,2)，那么导函数 ′( ) = sin
2
2 + 2 ．
2
根据第一问得，当 1 < < 2 时，导函数 ′( ) = sin 2 + 2 > 0．
当 0 < < 1 时，sin 2 < 1
2 < 1 2， 2 ，因此导函数 ′( ) = sin 2 + 2 < 0，
因此函数 ( )在(1,2)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，即 + 2 (
1
cos

2 + 1) ≥ +
2 1
2( cos

2 + 1) ≥ 0 得证．
综上， 的取值范围为( ∞,2]．
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