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2024-2025 学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一包装箱内有 12 件产品，其中有 10 件合格品.现从中随机取出 4 件，设取出的 4 件产品中有 件合格品，
则 ( ) =( )
A. 13 B.
2 4
3 C. 3 D.
10
3
2 1 1.已知数列{ }中， 1 = 4， +1 = 1 ，则 9 =( )
A. 45 B.
5 8
4 C. 3 D. 5
3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本，设生产 个单位产品的生产成本函数是
( ) = 8 +
2
8 + 4 ，则生产 4 个单位产品时，边际成本是( )
A. 2 B. 8 C. 10 D. 16
4.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 3 = 1， 6 = 4，则 16 + 17 + 18 =( )
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13

5 1 1 1.已知 ( ) = 3， ( | ) = 2， ( | ) = 4 .则 ( ) =( )
A. 7 7 5 512 B. 24 C. 12 D. 24
6.数列{ 2 }的前 项和为 ，对一切正整数 ，点( , )在函数 ( ) = 2 + 2 的图象上， = + ( ∈ +1
且 ≥ 1)，则数列{ }的前 项和为 =( )
A. 2 + 1 2 1 B. 2 + 3 1
C. 2 2 2 D. 2 + 3 3
7.若 ～ (0,1)，则 ( 1 ≤ ≤ 1) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ 2) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ 3) ≈ 0.9973.今有
一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为 (单位：毫米)，且 ～ (5.40, 0.052)，现从中随机
抽取 10000 个，其中恰有 个零件的该项质量指标位于区间(5.35,5.55)，则 的估计值为( )
A. 6895 B. 8400 C. 9545 D. 9973
8 .已知函数 ( ) = ，则下列大小关系正确的是( )
A. ( ) < (3) < (2) B. ( ) < (2) < (3)
C. (2) < (3) < ( ) D. (3) < (2) < ( )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量 与 之间线性相关性强弱，下列关于相关系数 的叙述中，正
确的是( )
A. 1 ≤ ≤ 1
B.当 与 正相关时， > 0
C. | |越小，得出的 与 之间的回归直线方程越没有价值
D. 越大，具有相关关系的两个变量 与 的线性相关程度越强

10 .已知函数 ( )与其导函数 ′( )的图象如图所示，设 ( ) = ( )，则( )
A.曲线 为函数 ( )的图象
B.曲线 为函数 ( )的图象
C.函数 ( )在区间[0,2]上是增函数
D.函数 ( )在区间[ , ]上是减函数
11.已知一组样本数据： 1， ， ，9，其中 ≤ 0， ≥ 0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确
的是( )
A.排列后得到的新数列可能既是等比数列又是等差数列
B.若排列后得到的新数列成等比数列， 和 有 4 组可能取值
C.若排列后得到的新数列成等差数列， 和 有 2 组可能取值
D. 33这组数据方差的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 0) = 0.4，若 = 3 2，则 ( = 1) = ______．
13.写出数列 1，2，4，7，11，16，…的一个递推公式： 1 = 1，______；一个通项公式：______．
14.若 ∈ [ 2 , + ∞),
2 + 3 2 ≥ (3 + )，则实数 的取值范围是______. (参考数据： 2 ≈ 0.693)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + + 2 在 = 2 处取得极值 14．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程．
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16.(本小题 15 分)
某工厂 ， 两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利 20 元、18 元、
16 元，现从 ， 生产线的产品中各随机抽取 100 件进行检测，结果统计如图：
一等级 非一等级 合计
生产线
生产线
合计
(1)根据已知数据，完成 2 × 2 列联表并判断有 95%的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？
(2)以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获
利更稳定？
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879
17.(本小题 15 分)
已知甲、乙两个箱子中各装有 9 个大小相同的球，其中甲箱中有 4 个红球、5 个白球，乙箱中有 2 个红球、
7 个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中
随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先抛掷一枚质地均匀的骰子，若点数为 1，6，则从甲箱
开始进行一次“交换”；若点数为 2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”．
(1)求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率；
(2)已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为 ，求随机变
量 的分布列和数学期望．
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18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 2 + ， ， 为实常数， ( ) = ，其中 ≈ 2.718．
(1) = 0 时，讨论 ( )的单调性；
(2)求 ( )的最值；
(3) = 1， = 0 时，证明： ( ) > 2．
19.(本小题 17 分)
已知数列{ }的首项 1 = 1，{ }的前 项和为 ，且 +1 = 2 + + 1( ∈ )．
(1)证明数列{ + 1}是等比数列；
(2)令 ( ) = 1 + 22 + + ，求函数 ( )在点 = 1 处的导数 ′(1)；
(3)设 = 2 +1 ( 1) ，是否存在实数 ，使 +1 > 对任意正整数 都成立，若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.6
2
13. = + ( ∈ )( ) = +2 +1 答案不唯一 2
14.( ∞, 6 ]
15.(1)解：由函数 ( ) = 3 + + 2，可得 ′( ) = 3 2 + ，
( ) = 2 14 ′(2) = 0 12 + = 0因为 在 处取得极值 ，可得 ，即 ，
(2) = 14 8 + 2 + 2 = 14
12 + = 0
整理得 4 + = 8，解得 = 1， = 12，
经检验，当 = 1， = 12 时， ′( ) = 3 2 12 = 3( + 2)( 2)，
令 ′( ) > 0，解得 < 2 或 > 2；令 ′( ) < 0，解得 2 < < 2，
所以 ( )在( ∞, 2)单调递增，( 2,2)单调递减，(2, + ∞)单调递增，
所以 ( )在 = 2 处取得极值，且 (2) = 14 符合题意，
所以 = 1， = 12．
(2)解：由(1)得，函数 ( ) = 3 12 + 2 且 ′( ) = 3 2 12，
则 ′(1) = 9，即切线的斜率为 = 9 且 (1) = 9，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 ( 9) = 9( 1)，
即 9 + = 0．
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16.(1) 生产线生产的 100 件产品中一等级产品数有 20， 生产线生产的 100 件产品中一等级产品数有 30，
因此 2 × 2 列联表如下：
一等级 非一等级 合计
生产线 20 80 100
生产线 30 70 100
合计 50 150 200
零假设 0：一等级产品与生产线无关，
2 = 200(20×70 30×80)
2 8
50×150×100×100 = 3 < 3.841，
因此依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，没有充分证据可以推断 0不成立，
则可以推断 0成立，即没有 95%的把握认为一等级产品与生产线有关．
(2)设 ， 两条生产线单件产品获利分别为 ， 元，
20 18 16
0.2 0.6 0.2
因此 ( ) = 20 × 0.2 + 18 × 0.6 + 16 × 0.2 = 18，
因此 ( ) = (20 18)2 × 0.2 + (18 18)2 × 0.6 + (16 18)2 × 0.2 = 1.6，
20 18 16
0.3 0.4 0.3
因此 ( ) = 20 × 0.3 + 18 × 0.4 + 16 × 0.3 = 18，
因此 ( ) = (20 18)2 × 0.3 + (18 18)2 × 0.4 + (16 18)2 × 0.3 = 2.4，
( ) < ( )，因此 生产线的获利更稳定．
17.(1) 1 2依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为3，从乙箱开始的概率为3，且每次“交换”后箱子总球数
仍然为 9 个，
要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，
乙箱中摸出的都是红球，
1
若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为27；
2
若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为27；
设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件 ，
1 2 1
所以． ( ) = 27 + 27 = 9
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(2)因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，
所以此时甲箱中有 5 个红球、4 个白球，乙箱中有 1 个红球，8 个白球，
的取值为 7，8，9
( = 7) = 1 × 5 × 8 2 8 5 43 9 10 + 3 × 9 × 10 = 9，
( = 8) = 1 5 2 4 9 23 × ( 9 × 10 + 9 × 10 ) + 3 × (
1 6 8 5 23
9 × 10 + 9 × 10 ) = 45，
( = 9) = 13 ×
4
9 ×
1 2 1 4 2
10 + 3 × 9 × 10 = 45，
7 8 9
4 23 2
9 45 45
( ) = 7 × 4+ 8 × 23 + 9 × 2 = 28 + 184 + 2 389 45 45 9 45 5 = 5．
18.(1) = 0 2时，函数 ( ) = 2 + ， > 0，导函数 ′( ) = + ，
当 ≤ 0 时，导函数 ′( ) < 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 时，根据 ′( ) = 0，得 = 2 ，
> 2 时，
2
′( ) > 0， ( )在( , + ∞)上单调递增；
0 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )
2
在(0, )上单调递减．
2 2
综上，当 > 0 时， ( )在(0, )上单调递减；在( , + ∞)上单调递增；
当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减．
(
1
2)(2)由于函数 ( ) = , > 0，因此导函数 ′( ) = ，
1
当 ∈ ( 2 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
1
当 ∈ (0, 2 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
1
因此函数 ( )无最大值，最小值是 ( 2 ) = 2 ．
(3)证明： = 1， = 0 时，函数 ( ) = 2 ，( > 0)，

要证明 ( ) > 2，需要证明 > 2 + 2 ，( > 0) 2+2 ，等价于 > ( > 0)①，
( ) = 2+2 设函数 ( > 0)，可得导函数 ′( ) =
1 3
2 ，
1
根据 ′( ) = 0，得 = 3，
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1当 ∈ ( 3, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
1
当 ∈ (0, 3)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
1 4 4
那么函数 ( )的最大值是 ( 3) = 3 ，即 ( ) ≤ 3 ，
根据第二问知 ( ) ≥ 2 ，
4 4
又由于 2 3 = ( 2 3 ) > 0，即 ( ) > ( ) ，
所以①式成立，所以 ( ) > 2．
19.(1)证明：数列{ }的首项 1 = 1，{ }的前 项和为 ，
且 +1 = 2 + + 1( ∈ )，
当 ≥ 2 时，可得 = 2 1 + ，
相减可得 +1 = 2 + 1，
两边同时加上 1，可得 +1 + 1 = 2( + 1)，
又 1 + 1 = 2， 2 = 2 1 + 2 即 2 + 1 = 2( 1 + 1)，
所以数列{ + 1}是公比和首项均为 2 的等比数列．
(2)由(1) = 2 1，
可得 ( ) = 1 + 2 2 + + 2 = (2 1) + (2 1) 2 + . . . + (2 1)
= 2 + 22 2 + + 2 2 ，
所以 ′( ) = 1 2 + 2 22 + 3 23 2 + + 2 1 1 2 3 2 1，
(1) = 1 2 + 2 22 + 3 23 + + 2 1 2 3 = ( +1)所以 ′ 2 ，
所以 2 = 1 22 + 2 23 + 3 24 + + 2 +1，

所以 1 2 3 = 2 + 2 + 2 + + 2 2 +1 =
2(1 2 ) 2 +11 2 = (1 )2
+1 2，
所以 = ( 1)2 +1 + 2，
( +1)所以 ′(1) = ( 1)2 +1 + 2 2 ．
(3)不存在，理由如下：由题 = 2 +1 ( 1) +1 = 2 ( 1) (2 1)，
则 +1 = 2 +2 ( 1) +1 (2 +1 1)，设 +1 > 对任意正整数 都成立，
+1
则当 为偶数时， 2 +2 + (2 +1 1) > 2 +1 (2 1) > 2 = 22 +1+2 2 ，3 22
2
因为 为偶数，所以3 <
2
2 ≤
4 4
，所以 > ；
3 2
5 5
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+1
当 为奇数时， 2 +2 (2 +1 1) > 2 +1 + (2 1) < 2 22 +1+2 2 = 2 ，
2 3
因为 2 2为奇数，所以 1 ≤ 2 < 3，所以 < 1，
2 3
综上所述，不存在实数 ，使 +1 > 对任意正整数 都成立．
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