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2024-2025 学年云南省德宏州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 = 3 4 ，则 =( )
A. 7 B. 5 C. 7 D. 25
2.已知向量 = (1,2)， = (2, )，且 ⊥ ，则 =( )
A. 4 B. 1 C. 1 D. 4
3.若 ， 是不相同的直线， ， 是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 // ， ，则 //
4.在△ 中，点 满足 = 4 ，则( )
A. = 1 + 3 B. = 3 4 4 4 +
1
4

C. = 15
+ 4 D. = 4 + 1 5 5 5
5.在△ 中，内角 、 所对的边分别是 、 ，且 = ，则△ 是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6.在平行六面体 1 1 1 1中∠ = 90°， = = 1 = 1，
∠ 1 = ∠ 1 = 60°.取棱 1 1的中点 ，则| | =( )
A. 153 B.
15
2
C. 10 D. 102 3
7.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若
两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. 12 B.
3 2 3
5 C. 3 D. 4
8.如图， ， 是海面上位于东西方向相距(3 + 3)海里的两个观测点，现位于
点北偏东 45°、 点北偏西 60°的 点有一艘船发出求救信号，位于 点南偏西
60°且与 点相距 4 3海里的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海
里/小时，则该救援船到达 点最快所需时间为( )
A. 0.2 小时 B. 0.3 小时 C. 0.5 小时 D. 1 小时
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.给定数 5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的( )
A. 3 B. 8中位数为 方差为5 C.众数为 3 D. 85%分位数为 4.5
10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
11.如图，在矩形 中， = 2 3， = 4， 为 中点，现分别沿 ， 将△ 、△ 翻折，
使点 ， 重合，记为点 ，翻折后得到三棱锥 ，则( )
A. 8 2三棱锥 的体积为 3
B. 3直线 与直线 所成角的余弦值为 6
C. 1直线 与平面 所成角的正弦值为3
D.三棱锥 22外接球的半径为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.有一批产品，其中一等品 10 件，二等品 25 件，次品 5 件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产
品中抽出 16 件进行质量分析，则抽取的一等品有______件.
13 2 .已知圆锥的底面半径为 1，侧面展开图是圆心角为 3的扇形，则该圆锥的表
面积为______．
14.如图，扇形 的弧的中点为 ，动点 ， 分别在线段 ， 上，且 = .
若 = 1，∠ = 120°，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图所示，在四棱锥 中，四边形 是正方形，点 ， 分别是线段 ， 的中点．
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(1)求证： //平面 ；
(2) 是线段 的中点，证明：平面 //平面 ．
16.(本小题 12 分)
某校高二年组组了一次专题培，从参加考试的学生中出 100 名学生，将其成(均为整数)分成为[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分为 5 组，得到如图所示的率分布直方图：
(1)求分数值不低于 70 分的人数；
(2)计这次考试的平均数和中位数(保留两位小数)；
(3)已知分数在[50,60)内的男性与女性的比为 3：4，为提高他们的成绩，现从分数在[50,60)的人中随机抽
取 2 人进行补课，求这 2 人中只有一位男性的概率．
17.(本小题 12 分)
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有 20 道
灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了 12 道，乙同学猜对了 8 道，丙同学猜对了 道．假设每道灯谜被
猜对的可能性都相等．
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2) 22任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为25，求 的值．
18.(本小题 12 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，向量 = (2 + , )，向量 = ( , 2 + )，且满足 =
2 ．
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(1)求角 的大小；
(2)若△ 外接圆的半径是 1，求当函数 ( ) = 2 4 取最大值时△ 的周长．
19.(本小题 12 分)
如图， 是⊙ 的直径， = 2，点 是⊙ 上的动点， ⊥平面 ，过点 作 ⊥ ，过点 作 ⊥ ，
连接 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 45°，求四棱锥 的体积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.4
14.[ 3 , 18 2 ]
15.证明：(1)在四棱锥 中，四边形 是正方形，点 ， 分别是线段 ， 的中点，
连接 必与 相交于中点 ，
∴ // ，
∵ 面 ， 平面 ，
∴ //面 ，得证；
(2)由点 ， 分别为 ， 中点，可得： // // ，
∵ 面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
又∵由(1)可知 //平面 ，
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且 ∩ = ， ， 平面 ，
∴平面 //平面 ，得证．
16.解：(1)由频率分布直方图可知满意度分数不低于 70 分的人数为：
(0.035 + 0.030 + 0.008) × 10 × 100 = 73 人，
所以分数不低于 70 分的人数为 73 人．
(2)平均分：55 × 0.07 + 65 × 0.2 + 75 × 0.35 + 85 × 0.3 + 95 × 0.08 = 76.2．
中位数：( 70) × 0.035 = 0.23， = 70.66．
(3)[50,60)的样本内共有学生 0.007 × 10 × 100 = 7 人，3 名男性，4 名女性，
设三名男性分别表示为 ， ， ，四名女性分别表示为 ， ， ， ，
则从 7 名学生中随机抽取 2 名的所有可能结果为：
{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，
{ , }，{ , }，{ , }{ , }，{ , }，{ , }，{ , }{ , }，{ , }，
{ , }{ , }，{ , }{ , }，共 21 种．
设事件 为“抽取 2 人中只有一位男性”，则 中所含的结果为：
{ , }，{ , }，{ , }，{ , }{ , }，{ , }，{ , }，{ , }{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，共 12 种．
12 4
事件 发生的概率为 ( ) = 21 = 7．
17.解：(1)设 =“任选一道灯谜甲猜对”， =“任选一道灯谜乙猜对”， =“任选一道灯谜丙猜对”，
12 3
则 ( ) = 20 = 5， ( ) =
8 2
20 = 5， ( ) = 20，

( ) = 2 3

故 5， ( ) = 5， ( ) = 1 20，
3 3 2 2 13
所以任选一道灯谜，求，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为5 × 5 + 5 × 5 = 25．
(2)设 =“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，
( ) = 1 2 × 3 × (1 ) = 22则 5 5 20 25，
解得 = 10，
即 的值为 10．
18.解：(1)向量 = (2 + , )，向量 = ( , 2 + )，
由已知 = 2 ，得 2 = (2 + ) + (2 + ) ，
再根据正弦定理有，2 2 = (2 + ) + (2 + ) ，
即 2 = 2 + 2 + ．
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由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 ， = 12，
因为 ∈ (0, )，
所以 = 2 3．
(2)由(1)知 ( ) = 2 + 2 = 1 2 2 + 2 = 2( 12 )
2 + 32．
因为 0 < < 3，
3
所以 ∈ (0, 2 )．
因此当 = 12时， ( )
3
有最大值2．
此时 = 2 = 3，
= = 2 = 1．
故△ 的周长是 2 + 3．
19.(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又因为 是⊙ 的直径，点 是⊙ 上的动点，可得 ⊥ ，
因为 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)证明：过点 作 ⊥ ，过点 作 ⊥ ，
由(1)可得 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
而 平面 ，所以 ⊥ ，
∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
而 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(3)解：由(2)可得 ⊥平面 ，
则直线 与平面 所成角为 45°，可得∠ = 45°，
可得 = ，
因为当 为弧 的中点时， = 2，
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可得 = = 2，
1 1可得 到平面 的距离为 = 2 = 2 2 = 1，
因为 ⊥ ， = ，所以 为 的中点，所以 为△ 的中位线，
所以 // ，且 = 12 =
2，
2
由(1)可得四边形 为直角梯形， = = 1，
1梯形 = 2 ( + ) =
1 ( 22 2 + 2) 1 =
3 2
，
4
1 1 3 2 2所以 = 3 梯形 = 3 × 4 × 1 = ．4
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