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2024-2025 学年广西北海市高一下学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 4 + 2 ，则| | =( )
A. 2 2 B. 2 5 C. 5 D. 20
2.在△ 中， = 12， = 120 ，则△ 的外接圆的面积为( )
A. 48 B. 64 C. 78 D. 96
3 .“ = 4 + 2 ( ∈ )”是“tan = 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.以周长为 32 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为( )
A. 49 B. 64 C. 98 D. 128
5 2.已知向量| | = 1，| | = 2，它们的夹角为3 ，则|2 +
| =( )
A. 4 B. 12 C. 2 D. 2 3
6.已知 ， ， 是不重合的三条直线， ， ， 是不重合的三个平面，则下列说法中错误的是( )
A.若 ⊥ ， // ，则 ⊥ B.若 ⊥ ， ， ⊥ ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，则 ⊥
7.素面高足银杯(如图 1)是唐代时期的一件文物.银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体(假设内壁光
2
滑，杯壁厚度可忽略)，如图 2 所示.已知球的半径为 ，银杯内壁的表面积为22 ，则球的半径与圆柱的高
3
之比为( )
A. 38 B.
1 C. 46 9 D.
2
7
8.已知 , 均为锐角，sin = 2sin cos + ，则 tan 的最大值为( )
A. 3 B. 2 C. 33 D.
2
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .已知复数 满足2 = 1 + ，则( )
A. | | = 10 B. = 3 +
C. 的虚部为 1 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知角 ， ， 是△ 的三个内角，下列结论一定成立的有( )
A. cos( + ) = cos
B. sin( + ) = sin
C.若 sin > sin ，则 >
D.若 sin = cos ，则△ 是直角三角形
11.已知函数 = sin + > 0, < 32 的图象经过点 0, 2 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 的最小正周期为2，则 = 4
B. 若 的图象关于点 3 , 0 中心对称，则 = 1 + 3 ∈
C. 2 1若 在 0, 3 上单调递增，则 的取值范围是 0, 4
D. 1 11 5若方程 = 2在 0, 上恰有两个不同的实数解，则 的取值范围是 6 , 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ∈ ，复数 = + 3 ， = 2 + ，若 1 11 2 为纯虚数，则 的虚部为 ．2 2
13.设 和 是两个不共线的向量，若 = 3 ， = + 3 ， = 2 ，且 ， ， 三点共线，则
实数 的值等于 ．
14.在三棱锥 中， ⊥平面 ， = 2， = = 1， = 2，点 是空间内的一个点，且 = 1，
则点 到平面 的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
sin( )cos(2 )sin( 2 )已知 (1 sin2 )cos( 4 ) = 3．
(1)求 tan 的值;
(2)求 tan2 和 tan( 4 )的值．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (4, 2)， = (1, )．
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(1)若 ⊥ (2 + )，求 的值;
(2)若 + 4 = (8, 10)，求向量 与 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + cos = 2 cosC.
(1)求角 的大小;
(2)若 ( ) = 8，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，某小区有一块扇形草地 ， = 100，∠ = 2，为了给小区的小孩有一个游玩的地方，物业要
在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐园使用，其中点 ， 在弧 上，点 ， 分别在线段 ，
上，且 // ，设∠ = (0 < < 2 ).
(1) 若 = 6，求矩形 的面积;
(2)求矩形 的面积的最大值，并求出此时弧 的长度．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 2 的菱形，∠ = 60 ， = ， = 3， = 3，
点 为棱 的中点．
(1)求证： ⊥ ;
(2)求二面角 的余弦值;
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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参考答案
1.
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10.
11.
12.32
13.12
14.53
15.(1)由诱导公式及同角函数的基本关系，
sin cos 2 sin 2 = sin cos cos 有 1 2 cos 4 2 cos = tan
有 tan = 3.可得 tan = 3；
(2)由 tan = 3 tan2 = 2tan 6 3，有 1 2 = 1 9 = 4，
tan = 1 tan = 1 3 1有 4 1+tan 1+3 = 2．
3
故有 tan2 = 4，tan 4 =
1
2．
16.解：(1)因为 = (4, 2)， = (1, )，所以 2 + = 2(4, 2) + (1, ) = (9, 4)，
又 ⊥ (2 + )，
所以 (2 + ) = 4 × 9 2( 4) = 0，解得 = 22;
(2)因为 + 4 = (4, 2) + 4(1, ) = (4 + 4, 2 + 4 ) = (8, 10)，
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4 + 4 = 8
所以 2 + 4 = 10解得 = 1， = 2，所以 = (1, 2)，
4+4 4 4
所以 cos < ， >= =
| | 2 5 5
= 5，即向量 与 夹角的余弦值为5．
17.解：(1)因为 cos + cos = 2 cos ，
由正弦定理得 sin cos + sin cos = 2sin cos ，
即 sin( + ) = 2sin cos ，
所以 sin = 2sin cos ，
又 ∈ (0, )，所以 sin > 0，
1
所以 cos = 2，所以 = 3 ;
(2)由 ( ) = 8，
可得 = 8，
即 cos = 8，

由(1)， = 3，所以 = 16，
1 1 3所以 △ = 2 sin = 2 × 16 × 2 = 4 3．
18.解：(1)作 ⊥ ，垂足为 ，交 于 ，
由于四边形 为矩形，即 ， 关于直线 对称，
∠ = ∠ = = 2 × 100sin = 200sin 则 6 ， 12 ，则 12 12 ， = 100cos

12 ，
1
而 ∠ = 2 ，故 为等腰直角三角形，则 = = 2 = 100sin 12 ，
故 = = 100cos 12 100sin 12 ，
则 = = 10000(2sin 2 12 cos 12 2 12 ) = 10000(sin

6 1 + cos

6 ) = 5000( 3 1)；
(2) 因为 ∠ = 0 < < 2 ，则 = 200sin

2 ， = 100cos

2 ，而 ∠ =

2 ，
1
故 为等腰直角三角形，则 = = 2 = 100sin 2 ，

故 = = 100cos 2 100sin 2 ，
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则矩形 的面积 = = 10000 2sin cos 2 2 2
2
2 = 10000 sin 1 + cos
= 10000 2sin + 4 1 ，
因为 0 < < 2 ，所以当 +

4 = 2 即 =

4 时， 2sin +

4 取最大值 2，

所以 max = 10000 2 1 ，此时弧 的长度为 100 × 4 = 25 ．
19.(1)证明：连接 交 于点 ，再连接 ，如图所示，
在△ 中， = ， 是 的中点，所以 ⊥ ，
又四边形 是边长为 2 的菱形，∠ = 60 ，所以 = 2， = 2 3， ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ;
(2)解：因为 = 3， = 3， = 2 3，所以 ⊥ ，∠ = 30 ，
所以 = 3，又 ⊥ ，所以 = = 2 + 2 = 2．
取 的中点 ，连接 ， ，如图所示．
在△ 中， = 2， = 2， = 3，点 是 的中点，所以 ⊥ ，
= 2 ( )2 = 13 .同理可得 ⊥ ，2 2 =
13，
2
所以二面角 的平面角为∠ ，
在△ 中， = 13， 13， = 2，2 = 2
2 2 2 13+13 4
由余弦定理得 cos∠ =
+ = 4 4 52 2× 13× 13
= 13，
2 2
即二面角 5的余弦值为13 ;
(3)解：在△ 中， ⊥ ， = 3 3，∠ = 30 ，所以 = 2．
由(2)知△ 的面积 1 1 13 39△ = 2 = ．2 × 3 × 2 = 4
因为点 是 的中点，
所以 1 1 1 1 1 3 3 = 2 = 2 = ，2 × 3 × 2 × 2 × 2sin120 × 2 = 4
设点 到平面 的距离为 ，
所以 1 1 39 39 3 = 3 △ = 3 × 4 = ，12 = = 4
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解得 = 3 13，13
又 = 2 + 2 = 21，2
3 13
设直线 与平面 所成角为 ，所以 sin = 13 2 273 = 21 = 91 ，
2
所以直线 与平面 所成角的正弦值为2 273．
91
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