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2024-2025 学年安徽省宣城市高一下学期期末调研测试数学试题
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 2 (1 + )的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2.向量 = ( 1,1)， = (2, )，则“ = 2”是“ // ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.二进制是以 2 为基数代表系统的二进制，通常用 0 和 1 表示.二进制011(2)化为十进制的计算公式如下：
011(2) = 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 3.若从二进制数000(2)，001(2)，010(2)，110(2)，101(2)，111(2)中任选
一个，则二进制数所对应的十进制数大于 3 的概率为( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 24 3 2 3
4.已知非零向量 ， 满足| | = 2，| | = 4，| + | = 5，则 在 上的投影向量为( )
A. 5 5 532 B. 16 C. 32 D.
5
16
5.一艘海轮从 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东40 方向直线航行，30 分钟后到达 处.在 处有一
座灯塔，海轮在 处观察灯塔，其方向是南偏东70 ，在 处观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么 ， 两点
间的距离是( )
A. 10 2海里 B. 10 3海里 C. 20 2海里 D. 20 3海里
6.一圆台的上、下底面半径分别是 10 和 20 ，它的侧面展开图扇环的圆心角为180 ，下列说法不正确
的是( )
A.圆台的母线长是 20 B.圆台的高是 10 3
C.圆台的表面积是 1100 2 D.圆台的体积是 7000 3 3
7.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 cos = (2 )cos ，若角 的平分线 的长为
1，则 4 + 的最小值为( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.若 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
B.若 ⊥ ， ⊥ ， ，则 //
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C.若 ⊥ ， ，则 //
D.若 ， ， // ， // ，则 //
9.先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是( )
A.样本空间中一共含有 4 个样本点
B. 1事件“两次正面向上”发生的概率是4
C.事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件
D.事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件
10.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列说法正确的是( )
A.若 = 45 ， = 2， = 2 2，则△ 只有一解
B.若 > 0，则△ 为钝角三角形
C.若△ 的外心为 ， = 3， = 5，则 = 8
D.若 = cos cos ，则△ 的形状是直角三角形
11.如图，在边长为 2 的正方形 中， ， 分别是的 ， 中点， 是 的中点，现在沿 ， 及
把这个正方形折成一个空间图形，使 ， ， 三点重合，重合后的点记为 ，下列结论正确的是( )
A. ⊥
B.三棱锥 的外接球的体积为 2 6
C. 2点 到平面 的距离为3
D.二面角 1的余弦值为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知一组从小到大排列的数据为 ，2，2，4，4，5，6， ，8，8，若其第 70 百分位数等于其极差，则
2 + = ．
13.已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边
长为 2 的菱形 ′ ′ ′ ′，且 ′ ′ = 2，则原平面图形的周
长为 ．
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14 .已知复数 1 = 2sin 3 ， 2 = 1 + (2cos ) ， 为虚数单位.若 ∈ [ 2 , ]，复数 1， 2在复平面内对应
的向量分别为 ， ，存在 使得等式( ) ( ) = 0 成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知△ 3 sin 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且△ 的周长为sin +sin sin ．
(1)求角 ;
(2)若△ 外接圆的面积为 4 ，求△ 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 2， 1 = 4，点 为 1 1的中点．
(1)求点 到平面 1的距离;
(2) 在棱 1上是否存在点 ，使得 ⊥平面 1 若存在，求出 1 的值;若不存在，请说明理由．
17.(本小题 15 分)
为普及消防安全知识，某校开展了“消防知识竞赛”活动，共有 1000 名学生参加此次竞赛活动，现从参加
该竞赛学生中随机抽取了 100 名，统计他们的成绩，其中成绩不低于 80 分的学生被评为“消防达人”，将
数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)估计参加这次竞赛的学生成绩的平均数和中位数(结果保留小数点后一位) ;
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(2)若在抽取的 100 名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于 70 分的学生中随机抽取 6 人，再从
6 人中选择 2 人作为学生代表，求被选中的 2 人均为消防达人的概率;
(3)已知[80,90)组的方差为 9，[90,100]组的方差为 6，试估计参加此次竞赛的学生不低于 80 分的成绩方差
(每个分组区间内平均数取区间中点，结果保留小数点后一位)．
18.(本小题 17 分)
在直角梯形 中，已知 // ， ⊥ ， = 1， = 2， = 3，动点 、 分别在线段 和
上， 和 交于点 ，且 = ， = (1 ) ， ∈ [0,1]．
(1) 1当 = 时，求 2
的值;
(2) 2 当 = 3时，求 的值;
(3) 1求| + 2 |的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，四边形 是边长为 2 的正方形， = 4，平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥平面 ;
(2)求二面角 的余弦值;
(3) 点 在正方形 内(包括边界)，若平面 ⊥平面 ，且∠ ∈ [ 4 , 3 ]，求点 的轨迹长度．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13.4 6 + 4
14.[2 3, 2 + 3]
15. (1) △ 3 sin 解： 因为 的周长为sin +sin sin ，
可得 + + = 3 sin sin +sin sin ，
3
由正弦定理，可得 + + = 2 2 + ，即( + ) = 3 ，
整理得 2 + 2 2 = ，
cos =
2+ 2 2 1
又由余弦定理，可得 2 = 2 = 2，
因为 ∈ (0, )，

所以 = 3；
(2)设△ 的外接图半径为 ，所以 2 = 4 ，所以 = 2，
3
由正弦定理得sin = 2 ，故 = 2 sin = 4 × 2 = 2 3，
又 2 = 2 + 2 2 cos ，即 12 = 2 + 2 ， 2 + 2 = 12 + ，
∵ 2 + 2 ≥ 2 ，∴ 12 + ≥ 2 ≤ 12，当且仅当 = = 2 3时取等号，
故△ 1 3面积的最大值为2 × 12 × 2 = 3 3．
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16.解：(1)因为三棱柱 1 1 1是正三棱柱，
所以 1 ⊥平面 1 1 1，
因为 1 平面 1 1 1，
所以 1 ⊥ 1，
又因为 是 1 1的中点，所以 1 ⊥ 1 1，
因为 1 ∩ 1 1 = 1， 1， 1 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥平面 1 1，
又 平面 1 1，
所以 1 ⊥ ，
点 为 1 1的中点，
所以 1 = 22 12 = 3， = 12 + 42 = 17，
所以 1 51△ = × 1 × = ，1 2 2
1 1 4 3 1 = 3 × 2 × 2 × 4 × 3 = ，3
设点 到平面 1的距离为 ，
则 1 = 1 ，
所以1 51 4 3，解得 8 17，
3 × 2 × = 3 = 17
所以点 到平面 1的距离为 =
8 17．
17
(2)由(1)可知 1 ⊥平面 1 1 ，
∵ 1 平面 1 ，则平面 1 ⊥平面 1 1 ，
在△ 中作 边上的高 ， 的延长线交 1于点 ，即有 ⊥ ，
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平面 1 ∩平面 1 1 = ， 平面 1 ，
∴ ⊥平面 1 ，于是点 即为所要找的点，
在 △ 和 △ 中，∠ = ∠ ，即∠ = ∠ 1 ，
∽ △ 1 ，因此 = ，1 1
= 2 = 1 ∴ = 4 1 = 7 即有 1 4，于是 ∴
1
2， 1 2 2，
= 7．
17.解：(1)平均数为(45 × 0.005 + 55 × 0.015 + 65 × 0.020 + 75 × 0.030 + 85 × 0.020 + 95 × 0.010) ×
10 = 72.5，
由频率分布直方图可知，成绩在[40,50)内的频率为 0.005 × 10 = 0.05，
成绩[50,60)在内的频率为 0.015 × 10 = 0.15，
成绩在[60,70)内的频率为 0.020 × 10 = 0.2，
成绩[70,80)在内的频率为 0.030 × 10 = 0.3，
所以成绩在 70 分以下的学生所占的比例为 0.05 + 0.15 + 0.2 = 0.4，
成绩在 80 分以下的学生所占的比例为 0.05 + 0.15 + 0.2 + 0.3 = 0.7，
0.5 0.4
所以成绩的中位数一定在[70,80)内，即 70 + 0.030 ≈ 73.3，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的中位数为 73.3；
(2) 0.3因为 6 × 0.3+0.2+0.1 = 3，
6 × 0.20.3+0.2+0.1 = 2，
6 × 0.10.3+0.2+0.1 = 1，
所以从成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100)内的学生中分别抽取了 3 人，2 人，1 人，
其中有 3 人为消防达人，设为 ， ， ，有 3 人不是消防达人，设为 ， ， ，
则从 6 人中选择 2 人作为学生代表，
有( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )共 15 种，
其中 2 人均为航天达人为( , )，( , )，( , )共 3 种，
3 1
所以被选中的 2 人均为消防达人的概率为15 = 5；
(3)[80,90)内的频率为 0.020 × 10 = 0.2，
[90,100]内的频率为 0.010 × 10 = 0.1，
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[80,90)内的平均数为 85，[90,100]内的平均数为 95，
[80,100] 0.2内的平均数为0.2+0.1 × 85 +
0.1 170+95 265
0.2+0.1 × 95 = 3 = 3 ，
又[80,90)组的方差为 9，[90,100]组的方差为 6，
所以这次竞赛的学生不低于 80 分的成绩方差为：
1 265 2 265 2
0.2+ 0.1 {0.2 × [9 + (85 3 ) ] + 0.1 × [6 + (95 3 ) ]}
= 8 + 60027 ≈ 30.2．
18.解：(1) = + = +
= + ( + + )
=

+ + 3

= (1 2 ) 3 +
，
= 1当 时 = 22 3
+ 1 2 ，
= ，
2 1
∴ = ( + 3 2 ) (
)
1 2 2 1 2= 6
+ 3 2

= 0 6 + 2 = 4．
(2) 2 5 2当 = 3时，
= 9 + 3 ，
设 = ， = ，
得 = = 59
+ 2 3 ，
= + = + = + 1 ．
5 =
∵ ， 不共线，∴ 92 ,
3 = 1
= 5 = 5解得1 6，即 6．
(3)因为 = + 1 3
，
= + 1 23
，
所以 + 12
= 1 + 2
+ 5 2 6 3 ，
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|
1
+ |2 = (1 + )2 2
5 2 2 2
2 2 | | + (6 3 ) | |
5 2
= 4(1 + )22 + 9(6
2
3 )
= 5 2 6 + 414，
由题意知， ∈ 0,1 ，
3 13 5
所以，当 = 时， + 5 取到最小值 10 ，
当 = 0 时， + 41取到最大值 2 ．
+ 1故 13 5 , 412 的取值范围是 10 2 ．
19.(1)证明：四边形 是边长为 2 的正方形，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ;
(2)解：过点 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，
∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ，∴ ⊥平面 ，
∴ ⊥ ，∴ ∠ 是二面角 的平面角，
在 △ 中， = 4， = 2，∴ = 2 5，
由 = 得 = 4 5，5
在 △ 中， = 2 + 2 = 6 5，5
4 5
∴ cos∠ = =
5 = 2，
6 5 3
5
∴二面角 2的余弦值为3；
(3)解：如图，以 为直径在平面 上作一个半圆，
在该半圆周上任取点 ，连接 、 、 ，则 ⊥ ，
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又由(1)知 ⊥平面 ，而 平面 ，
∴ ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ，故点 的运动轨迹在该半圆周上，
设 中点为 ，
∵ ∠ ∈ [ , 4 3 ]，所以∠ ∈ [
2
2 , 3 ]，
∴ 2 2 根据扇形的弧长公式得点 的运动轨迹长度为 3 × 2 2 × 2 = 3 2 = 6．
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