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2024-2025 学年陕西省汉中市高一下学期期末校际联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∣ ≥ 4}, = {1,2,3,4,5}，则 ∩ =( )
A. {5} B. {4,5} C. {2,3} D. {1,2,3}
2 3+i.复数 = i 的虚部为( )
A. 3 B. 3 C. 1 D.
3.已知半径为 2 的扇形面积为 5，则扇形的圆心角为( )
A. 2 B. 52 C. 3 D. 5
4.如图，水平放置的 的斜二测直观图是 ′ ′ ′，其中 ′ ′ = 2, ′ ′ = 2，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 3 D. 2 5
5.甲、乙、丙准备在茶话会上表演节目，假设他们三人出场先后的可能性相等，则乙比丙先出场的概率为( )
A. 2 1 1 13 B. 2 C. 4 D. 6
6.已知 中， = 3, = 6, = π4，则 =( )
A. π B. π 5π6 6或 6 C.
π D. π 2π3 3或 3
7.函数 ( ) = ( ) cos 在[ 2,2]上的图象大致为
A. B. C. D.
8.给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩
光范围，可用遮光角 来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮
3 7
光角 满足 tan = + .若图中 = 208, = 12，且 cos2 = 25，则 =( )
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A. 21 B. 33 C. 42 D. 55
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.棱柱的侧面一定是平行四边形
B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台
C.空间中不同的三点可以确定唯一平面
D.过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行
10.已知平面向量 = ( 2, sin ), = (1, cos )，则下列说法正确的是( )
A. , 可能垂直
B. , 可能共线
C. π若 = 4，则| +
| = 3
D. π若 = ，则 在 方向上的投影向量为 2 2
11.设函数 ( ) = sin( + ) > 0,0 < < π2 ，若 ( )
π π π 2π
在区间 6 , 2 上具有单调性，且 2 = 3 =
π6 ，则( )
A. ( )的最小正周期为π
B. ( ) π图象关于直线 = 12对称
C. ( ) π图象关于点 6 , 0 中心对称
D. ∈ 0, π存在 2 ，使得 ( + ) = ( + 3 )成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3 tan15

.计算：1+ 3tan15 = ．
13.已知复数 满足 + i2025 = 2，则| | = ．
14.在平行四边形 中， 为 的中点， = + ，则 = ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 1 i( ∈ )．
(1)若复数 + 2 + i 对应的点在直线 = 上，求实数 的值；
(2) 是 的共轭复数，且 (3 + i)为纯虚数，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 tan = 2．
(1) π若 是第二象限角，求 cos 4 的值；
(2) 1+sin2 求2cos2 +2sin cos 的值
17.(本小题 15 分)
由正方体 1 1 1 1截去三棱锥 1 1 1后得到的几何体如图所示， 为 与 的交点．
(1)求证： 1 //平面 1 1；
(2)求证：平面 1 //平面 1 1．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 32 sin + cos
2
2
1 π
2，将函数 ( )图象向左平移3个单位长度，得到函数 ( )的图象．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)在 中，若 ( ) = 12 , = 2 3，求 面积的最大值
19.(本小题 17 分)
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在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为底面中心， ， 分别为 ， 的中点， 为等
腰直角三角形，且| | = | |．
(1)若平面 ∩平面 = ，判断直线 与 的位置关系并证明；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)若 ， 分为 ， 的中点，点 在线段 上，且| | = | |，若平面 //平面 ，求实数 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13. 2
14.1
15.解：(1) + 2 + i = 3 + (1 )i，对应的点为(3,1 )，
由于(3,1 )在直线 = 上，故 3 = 1 ，解得 = 2；
(2) = 1 + i， (3 + i) = (1 + i)(3 + i) = 3 + i + 3 i = 3 + (3 + 1)i，
故 3 = 0 且 3 + 1 ≠ 0，解得 = 3．
16.解：(1) sin 因为 tan = 2，所以cos = 2．
因为sin2 + cos2 = 1， 是第二象限角，
5
所以 cos = 5 , sin =
2 5
5 ．
2 2 2 5 10
所以 cos 4 = 2 cos + 2 sin = 2 × 5 = 10 ．
2 2
(2) 1+sin2 sin +cos +2sin cos tan
2 +1+2tan 4+1 4 1
2cos2 +2sin cos = 2cos2 +2sin cos = 2+2tan = 2 4 = 2．
17.解：(1)取 1 1的中点 ，连接 1 , ．
则 1 = , 1 // ．
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所以四边形 1 为平行四边形，所以 1 // ．
因为 平面 1 1， 1 不在平面 1 1内，
所以 1 //平面 1 1．
(2)因为 // 1 1， 1 1 平面 1 1， 不在平面 1 1内，
所以 //平面 1 1．
由(1)知， 1 //平面 1 1．
因为 1 ∩ = , 1 , 平面 1 ，
所以平面 1 //平面 1 1．
18. 3 1 3 1 3 1 π解：(1)由 ( ) = sin + cos2 = sin + 2cos22 2 2 2 2 2 1 = 2 sin + 2 cos = sin + 6 ，
( ) π 将 向左平移3个单位得 ( ) = sin + 3 + 6 = cos ，
则得当π + 2 π ≤ ≤ 2π + 2 π， ∈ Z 时， ( )单调递增，
故 ( )的单调递增区间为 π + 2 π, 2π + 2 π ∈ Z ．
(2)由 ( ) = cos = 12，因 0 < < π，所以 =
π
3，
由余弦定理得 2 = 12 = 2 + 2 ≥ 2 2 2 = ，当且仅当 = 时取等号，
所以 = 1 sin 1 3 2 3 ≤ 2 × 12 × 2 = 3 3，
故 面积的最大值为 3 3．
19.解：(1) //
证明：因为底面 为平行四边形，
所以 // ，
又因为 面 ， 面 ，
所以 //面 ，
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又因为 面 ，面 ∩平面 = ，
所以 // ．
(2)
连接 ，则 为 中点，又点 为 中点，所以 // ，
异面直线 与 所成角即为 与 夹角，
在等腰直角三角形 中，设| | = | | = 2 ，则| | = | | = ，| | = 2 2 ，| | = 5 ，
2 2 2 2 2 2
在 中，由余弦定理得，cos∠ = | | +| | | | 8 +5 3 102| | | | = 4 10 2 = 10 ，
3 10所以异面直线 与 所成角的余弦值为 10 ．
(3)连接 ，如图所示，
3
因为 为 的中点， 为 的中点，所以| | = 4 | |，
因为平面 //平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ∩平面 = ，所以 // ，
| | = | |则| | | | = 3，即| | = 3| |，所以 = 3．
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