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2024-2025 学年合肥市百花中学等四校联考高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A. (1 + ) B. (1 + )2 C. 2(1 + ) D. (1 + )2
2.已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为 0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一
次，则恰有一人命中的概率为( )
A. 0.26 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98
3.已知 , 表示两条不同直线， 表示平面，则下列选项正确的是( )
A.若 ， ，则 B.若 ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 D.若 ⊥ ， ，则 ⊥
4.在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 cos = cos ，则 的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
5.在正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为( )
A. 22 B.
3
2 C.
5
2 D.
7
2
6.从长度分别为 3，4，5，6 的 4 条线段中任取 3 条，能构成钝角三角形的概率为( )
A. 14 B.
1
3 C.
1 3
2 D. 4
2 2 2
7.已知 , , 分别为 内角 , , + 的对边， 的面积 = 4 ，则 =( )
A. 90 B. 60 C. 45 D. 30
8.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，侧面积分别为 甲和 乙，体积分别为 甲

和 甲乙.若 = 2
甲
，则 =( )
乙 乙
A. 3 B. 2 2 C. 10 D. 110
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.有一组样本数据 1, 2, , 6，其中 1是最小值， 6是最大值，则( )
A. 2, 3, 4, 5的平均数等于 1, 2, , 6的平均数
B. 2, 3, 4, 5的中位数等于 1, 2, , 6的中位数
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C. 2, 3, 4, 5的标准差不小于 1, 2, , 6的标准差
D. 2, 3, 4, 5的极差不大于 1, 2, , 6的极差
10.已知向量 = (1,3)， = (2, 4)，则( )
A. , = 3 4

B. 2 + //
C. + ⊥
D. 在 方向上的投影向量的坐标为( 1,2)
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 是棱 1的中点， 是侧面 1 1上的动点，且满足 1 1//
平面 1 ，则下列结论中正确的是( )
A. 9平面 1 截正方体 1 2 1 1所得截面面积为2
B.点 的轨迹长度为4
C.存在点 ，使得 1 ⊥ 1
D.直线 1 与平面 1
2 5
1所成角的正弦值的最大值为 5
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.已知平面内有 、 、 、 四点，其中 ， ， 三点共线，且 = + ，则 + = ．
13.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球 的直径.若平面 ⊥平面 ，SA = AC，
SB = BC，三棱锥 的体积为 9，则球 的表面积为 ．

14. 3的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 sin cos + sin cos = 2 ， = 3， > ，则
2 + 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知复数 z 满足 2 + i z 7i = 2 3 2i
(1)求复数 z
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(2)若复数 是关于 的方程 2 2 + + = 0 , ∈ R 的一个根，求 ， 的值
16.在△ 中，内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 > ，已知BA BC = 2， = 13， = 3，求：
(Ⅰ) 和 的值；
(Ⅱ)cos( )的值．
17.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了 200 名年龄在[20,45]内的市民进
行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一 五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，
[35,40)，[40,45])．
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数;
(2)利用频率分布直方图，估计 200 名市民的年龄的平均数和第 80 百分位数;
(3)若从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈，再从中选取 2 人在座谈会中作重点发言，求
作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．
18.如图，在梯形 中， = 2 ，∠ = 90°， = = 2， 为线段 的中点，记 = ， = ．
(1)用 ， 表示向量 ；
(2)求 的值；
(3)求 与 夹角的余弦值．
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19.图 1 是由矩形 ， △ 和菱形 组成的一个平面图形，其中 = 1， = = 2，∠ =
60°，将其沿 ， 折起使得 与 重合，连结 ，如图 2．
(1)证明：图 2 中的 ， ， ， 四点共面，且平面 ⊥平面 ；
(2)求图 2 中的二面角 的大小．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.36
14.2 7
15. 2(1)因为 2 + i 7i = 2 3 2i = 2 3 + ( 2)2 = 4，
= 4+7i = 4+7i 2 i所以 2+i 2+i 2 i = 3 + 2i．
(2)因为复数 是关于 的方程 2 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，
所以 2 3 + 2i 2 + 3 + 2i + = 2 9 + 12i 4 + 3 + 2 i + = 10 + 3 + + (2 + 24)i = 0，
10 + 3 + = 0
所以 2 + 24 = 0，解得 = 12, = 26．
16.解：(Ⅰ) ∵ · = 2， = 13，
∴ · = 2，即 = 6①，
∵ = 3，
∴由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，即 9 = 2 + 2 4，
∴ 2 + 2 = 13②，
联立①②得： = 3， = 2；
(Ⅱ)在△ 中， = 1 2 = 1 ( 1 2 2 23 ) = 3 ，
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由正弦定理 = 得： = =
2 × 2 2 4 23 3 = 9 ，
∵ = > ，∴ 为锐角，
∴ = 1 2 = 1 ( 4 2 )29 =
7
9，
则 cos( ) = +
= 1 7 2 2 4 2 233 × 9 + 3 × 9 = 27．
17.解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为 = 0.02 × 5 = 0.1，
故年龄在[40,45]内的市民人数为 200 × 0.1 = 20；
(2)平均数为 22.5 × 0.01 × 5 + 27.5 × 0.07 × 5 + 32.5 × 0.06 × 5 + 37.5 × 0.04 × 5 + 42.5 × 0.02 × 5 =
32.25；
前三组的频率和为 0.01 × 5 + 0.07 × 5 + 0.06 × 5 = 0.7，
第四组的频率为 0.04 × 5 = 0.2，所以第 80 百分位数在第四组，
第 80 0.1百分位数为 35 + 0.2 × 5 = 37.5；
(3)易知，第 3 组的人数，第 4 组频率之比为 3: 2，
若用分层抽样的方法在第 3、4 两组市民抽取 5 名参加座谈，
则应从第 3，4 组中分别抽取 3 人，2 人，
记第 3 组的 3 名分别为 1， 2， 3，第 4 组的 2 名分别为 1， 2，
则从5 名中选取2 名作重点发言的所有情况为 1, 2 ， 1, 3 ， 1, 1 ， 1, 2 ， 2, 3 ， 2, 1 ， 2, 2 ，
3, 1 ， 3, 2 ， 1, 2 ，共有 10 种，
其中第 4 组的 2 名 1， 2至少有一名被选中的有： 1, 1 ， 1, 2 ， 2, 1 ， 2, 2 ， 3, 1 ， 3, 2 ，
1, 2 ，共有 7 种，
所以至少有一人的年龄在[35,40) 7内的概率为10．
18.(1)如图，连接 ，
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因为 为线段 的中点， = ， =
1
所以 = 2
+ ，因为 = 2 ，所以 = 12 ，
由向量的加法法则得 = + = + 1 2 =
+ 12 ，
1
故 + = 12 2 +
+ 12 =
3 + 1 3 14 2 ，即
= + 4 2 成立．
(2)由于∠ = 90°，可得 = 0，又有 = 2, = 2，
2 2
所以 =
2
= 3 + 1 = 9 2 + 3
2
4 2 16 4 +
1
4
；
= 9 × 4 + 1 × 4 = 13，故 = 1316 4 4 2 ．
(3)由向量的减法法则得 = = ，
由于∠ = 90°，可得 = 0，又有 = 2, = 2，
2 2 2得到 = = 2 + 2 = 4 + 4 = 8，故 = 2 2，
则 = 3 + 1 = 3 2 + 1
2 3 1
4 2 4 2 = 4 × 4 + 2 × 4 = 1，
13
由上问得 = ，故 cos , =
= 1 = 262 13 ．
2 2 2
26
19.(1)证：∵ // ， // ，又因为 和 粘在一起．∴ // ， ， ， ， 四点共面.又∵ ⊥ ，
⊥ ．∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ，得证. (2)过 作 ⊥ 延长线于
，连结 ，因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ 而又 ⊥ ，故 GC⊥平面 ，所以 ⊥ .又因为 ⊥
所以∠ 是二面角 的平面角，而在△ 中∠ = 90 ，又因为∠ = 60 故∠ = 60 ，
所以 = sin60 = 3.而在△ 中∠ = 90 ，tan∠ = = 1 = 3，即二面角 的 3 3
度数为30 ．
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