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2024-2025 学年甘肃省张掖市高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.已知 tan = 2，则 tan2 =( )
A. 4 B. 43 C.
4
3 D.
3
4
2.从稻田中随机抽取 7 株水稻苗，测得苗高(单位： )分别是 23，24，23，26，25，23，25.则这组数据
的众数和中位数分别是( )
A. 26，25 B. 26，24 C. 23，24 D. 23，23
3 1+ .复数 与复数1+2 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 =( )
A. 1 + 1 B. 1 1 C. 3 13 3 5 + 5 D.
3 1
5 5
4.甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先
1
走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为 ，乙先走的情况下，甲胜的概率为2 ，则甲获胜的概率是( )
A. 1 38 B.
5
8 C. 1
1
3 D.
2
3
5.已知 , , 是不重合的三个平面， 是直线，则下列说法错误的是( )
A.若 与 不垂直， ⊥ ，则
B.若 ⊥ ， ∩ = ，点 ∈ ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
D.若 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，则 ⊥
6.已知平面向量 = 2,4 ， = 2,1 ，则向量 在向量 + 2 上的投影向量的坐标为( )
A. ( 5 , 53 3 ) B. 2 5, 2 5 C. 2 5, 5 D. 3,3
7.已知 中，角 , , 的对边分别为 ， ， ， < < ， 的外接圆圆心为 ，则( )
A. < < B. < <
C. < < D. < <
8.如图，直三棱柱 1 1 1的底面为直角三角形，∠ = 90 ， = 6 2， = 1 = 4， 是 1
上一动点，则 + 1的最小值为( )
A. 4 5 B. 2 34
C. 8 5 D. 2 22
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二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.已知 = 2 + 为关于 的方程 2 + + 5 = 0 ∈ 在复数范围内的一个根，则( )
A. 2 = 5
B. = 4
C. 5 + 2 为纯虚数
D. 2 为关于 的方程 2 + + 5 = 0 的另一个根
10.已知随机事件 、 ， 表示事件 的对立事件， = 0.4， = 0.6，则下面结论正确的是( )
A.事件 与 一定是对立事件
B. ∪ = 1
C. = 0.24
D.若事件 、 相互独立，则 = 0.16
11.已知圆台的上底面圆心为 1，下底面圆心为 2，过直线 1 2的平面截圆台得截面为梯形 ，其中 2
在线段 上， 1在线段 上， = 2 = 2 = 2， 为弧 上的动点(不与点 ， 重合)，则下列说法
中正确的有( )
A.当 为弧 的中点时，异面直线 和 所成的角的大小为4
B. 3几何体 的体积最大值为 4
C.圆台外接球的表面积为 16
D. 直线 与下底面所成的角的最小值为6
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.已知复数 = 2 4+ 2 为纯虚数，则实数 的值为 ．
13 1.在 中，∠ 为直角，∠ 的平分线 交 于 ，且有 = 4
+ .若 = 4，则 = ．
14.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点， 为正方形 1 1 内一动点，且 1 //
平面 1 ，则点 的轨迹的长度为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.将一枚质地均匀的正四面体骰子(四个面的点数分别为 1，2，3，4)先后抛掷两次，分别观察底面上的点
数，第一次、第二次出现的点数用数对 , 表示．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)向量 = 1, 1 ， = , ，记事件 : > 0，求事件 发生的概率．
16.已知 ， 为锐角，sin + = 12，sin cos =
1
3．
(1)求证：tan = 2tan ；
(2)求 cos 的值．
17.在锐角三角形 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边，且 sin sin sin = 2 + 2 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2，求 周长的取值范围．
18.某 游戏统计了 100 名玩家的团战支援评分(百分制，分数越高支援效率越高)，并按分数作出如图
所示的频率分布直方图．
(1)求 的值及样本评分的第 75 百分位数；
(2)以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分；
(3)在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在 50,60 的平均值为 52，方差为 6，在 60,70 的平均值
为 64，方差为 3，求两组样本评分合并后的平均数 和方差 2．
19 7.如图，已知三棱台 1 1 1的体积为3， ⊥ ， = = 1 = 2 1 1 = 2，点 为 1的中
点， = 4 ．
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(1)求证： //平面 1 1；
(2)求 1 与平面 所成角的正切值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.3 2
14. 2
15.解：(1)因为每次骰子落地时，底面上的点数有 1，2，3，4 共 4 个可能的基本结果，
所以试验的样本空间为 = { 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,1 , 3,2 , 3,3 ,
(3,4), 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 }．
(2)为向量 = 1, 1 ， = , ， > 0，所以 > 0，
则事件 包含的样本点有 2,1 ， 3,1 ， 3,2 ， 4,1 ， 4,2 ， 4,3 ，共 6 个，
由(1)知试验的样本空间包含 16 个样本点，
6 3
所以事件 发生的概率为16 = 8．
16. 1解：(1)因为 sin + = 2，
所以 sin cos + cos sin = 12，又 sin cos =
1
3，
1 1
所以 cos sin = 2 3 =
1
6，
sin cos = 2cos sin sin = 2 × sin 所以 ，即cos cos ，
所以 tan = 2tan ；
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(2)sin = sin cos cos sin = 1 1 = 13 6 6，
所以 2 = 1 2 = 1 1 3536 = 36，

因为 , 为锐角，所以 0 < < 2，0 < < 2，所以 2 < < 0，
35 35所以 2 < < 2，所以 cos = 36 = 6 ．
17.解：(1)在 中， + + = ，
所以 sin sin sin = 2 + 2 = 2 2 ，
即 2 sin sin = 2 2 ．
由正弦定理可得 2 = 2 2，即 2 + 2 2 = ．
2+ 2 2 1
由余弦定理，得 cos = 2 = 2，
因为 为锐角三角形 的内角，所以 = 3．
(2)由(1) 知， = 3 .因为 是锐角三角形，
所以 ∈ 0, 2 ， =
2
3 ∈ 0,

2 ，解得 ∈ 6 , 2 ．
2
由正弦定理sin = sin = sin ，得sin = sin = sin 2
，
3 3
2sin 3 3 2sin
2
3 = = = = 3cos +sin 3cos 所以 sin sin ， sin sin = sin + 1，
+ + = 2 + 3 + 3cos + 1 = 3 1+cos 所以 的周长 sin sin sin + 3．

1+cos 2 2
因为 2sin = =
1
，且 ∈ , ，
2sin cos tan 2 12 42 2 2
1+cos 1 1
所以 sin ∈ tan ,4 tan
．
12
sin

因为 tan 4 = 1，tan
6 1+cos
12 = 1+cos = 2 3，所以 sin ∈ 1,2 + 3 ，6
3 1+cos
所以 sin + 3 ∈ 3 + 3, 6 + 2 3 ，
即 的周长的取值范围是 3 + 3, 6 + 2 3 ．
18.解：(1)由题意知，0.05 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 10 + 0.1 = 1，解得 = 0.025．
由题意知，团战支援评分在 40,80 的频率为 0.05 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.65，
团战支援评分在 40,90 的频率为 1 0.1 = 0.9，
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故第 75 百分位数 在 80,90 ，则 0.65 + 80 × 0.025 = 0.75，
解得 = 84，故第 75 百分位数为 84．
(2)因为 45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 74，
所以估计该游戏玩家团战支援评分的平均分为 74．
(3)样本数据在区间 50,60 上的个数为 100 × 0.1 = 10，
在区间 60,70 上的个数为 100 × 0.2 = 20，
= 10 20所以平均数 10+20 × 52 + 10+20 × 64 = 60，
方差 2 = 10 210+20 × 6 + 52 60 +
20
10+20 × 3 + 64 60
2 = 36．
19.解：(1)如图，取 的中点 ，连接 1 ，因 = 4 ，
在 1中，则 ， 分别为 1， 的中点，故 // 1 ．
1
由棱台的性质知 1 1// ，又 = 2 1 1，所以 1 1 = 2 = ，
故四边形 1 1 为平行四边形，则 1// 1，所以 // 1．
又因为 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 //平面 1 1．
(2)设三棱台 1 1 1的高为 ．
1 1
由题意 = 2 × 2 × 2 = 2， 1 1 1 = 2 × 1 × 1 =
1
2，
1 1 1 7
则三棱台 1 1 1的体积 = 3 × 2 + 2+ 2 × 2 = 3，
解得 = 2 = 1，故 1 ⊥平面 ．
连接 ，则∠ 1 即为 1 与平面 所成的角．
在 1 1 2 中， = 2， = 4 = 4 × 2 2 = 2 ，∠ = 4，
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 22 + ( 2 )22 2 × 2 ×
2 × 2 = 52 2 2，
10
所以 = 2 ．
1 2 2 10在 1 中，tan∠ 1 = = 10 = 5 ，
2
2 10所以 1 与平面 所成角的正切值为 5 ．
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