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2024-2025 学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列条件中能得到 = 的是( )
A. = B. 与 的方向相同
→ →
C. = ，且 /\ !/ D. = 0且 = 0
2.从装有 3 个红球和 5 个黄球的口袋内任取 3 个球，那么“至少有 1 个红球”的对立事件是( )
A.至少有 2 个红球 B.至少有 2 个黄球 C.都是黄球 D.至多 1 个红球
3.设 为实数，复数 1 = 2i， 2 = 1+ i，若 1 + 2为纯虚数，则 1 2 =( )
A. 1 + 3i B. 1 C. 6 + 6i D. 3 + 3i
4.下列命题是真命题的是( )
A.已知数据 1, 2, , 10，2 的平均值为 2，方差为 1，则数据 1, 2, , 10相对于原数据一样稳定
B.若甲组数据的方差为 5，乙组数据的方差为 7，则这两组数据中较稳定的是乙
C.数据 1，2，3，4，4，5 的平均数、中位数相同
D.数据 1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6 的众数是 2 和 4
5.给出下列 4 个命题，其中正确的命题是( )．
①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行；
③垂直于同一直线的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行．
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
6.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若( + )( ) + ( + ) = 0，则 等于( )
A. 90° B. 60° C. 120° D. 150°
7 5.已知 sin(45° + ) = 5 ，则 sin 2 等于( )
A. 45 B.
3 3 4
5 C. 5 D. 5
8.已知直三棱柱 1 1 1中，底面 是等腰直角三角形，∠ = 90°， = = 1， 1 = 2，
若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. 32π B. 4π3 3 C. 2π D. 4π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中装有 3 件正品和 1 件次品，按以下要求抽取 2 件产品，其中结论正确的是( )
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A. 2 2 1任取 件，则取出的 件中恰有 1 件次品的概率是2
B.每次抽取 1 件，不放回抽取两次，样本点总数为 16
C. 1每次抽取 1 件，不放回抽取两次，则取出的 2 件中恰有 1 件次品的概率是2
D.每次抽取 1 件，有放回抽取两次，样本点总数为 16
10.已知向量 与 的夹角为 30°，且 = 1， 2 = 1，则下列结论成立的是( )
A. = 3 B. = 32
C. ⊥ 2 D. 在 3方向上的投影是2
11.下列选项中，与 cos( 25π3 )的值相等的是( )
A. 2cos15°cos75° B. sin86°cos56° cos86°sin56°
C. 11+tan3° 1+tan42° D. cos45°cos15° + cos45°cos75°
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
→ →
12.已知 = (3,1)， = ( 6, )，若 /\ !/ ，则 = ．
13.已知向量 对应的复数为 = 1 + i，复数 i 可以将向量 按逆时针方向旋转 得到(填最小正角)．
14.在四面体 中， = = 2，且 ⊥ ， = 5， = 3，则该四面体体积的最大值为 ，
此时该四面体外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3
已知等腰三角形顶角的余弦值为5，求这个三角形底角的正弦、余弦以及正切值．
16.(本小题 15 分)
已知 、 分别是四边形 的边 ， 的中点．
(1)求证： = 1 + 2 ；
(2)若四边形 是边长为 2 的正方形，点 是边 的中点，求证： ⊥ ；
(3)若四边形 是边长为 2 的正方形，点 是 边上的动点，求 的最大值．
17.(本小题 15 分)
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + = 2 + 1．
(1)若 外接圆的面积为 ， = 30°，求 ；
(2)若 sin + 3cos = 2，求 面积的最大值．
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18.(本小题 17 分)
“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精
神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有 20 道数学问题，满分
100 分在所有的答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩分成六段：40,50 , 50,60 ，……，90,100 ，
得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了 12 道，乙同学答对了 8 道，丙同学答
对了 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．
( )任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
( ) 22任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为25，求 的值．
19.(本小题 17 分)
如图，在四面体 中， = ， = = 2， 为 的中点， 为 上一点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 ， 分别是 ， 的中点，求证： /\ !/平面 ；
(3)若∠ = 90°，∠ = 60°， = 3 ．
①求二面角 的余弦值；
②求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.π2/90°
14. 306 ；8
15.解：设等腰三角形的顶角为 ，底角为 ，依题意，cos = 35，
因为 + 2 = π，所以 ∈ (0, π2 )，cos2 = cos π = cos =
3
5，
由 cos2 = 2cos2 1 = 35，解得 cos =
5
5 ，sin = 1 cos
2 = 2 55 ，
tan = sin 所以 cos = 2．
16.解：(1)如图(1)， = = + 1 = + 1 1 2 2 2
= + 1 1 = 1 + 1 1 1 2 2 2 2 2 = 2 +
1 ( 2
) = 1 2 ( + )．
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(2)以点 为坐标原点建立如图(2)所示的平面直角坐标系，依题意，
有 (0,0)， (2,0)， (2,1)， (0,2)， (2,2)， (1,0)，
则 = (2,1)， = (1, 2)，由 = 2 × 1 + 1 × ( 2) = 0，可得 ⊥ ．
(3)由(2)，设 = ， ∈ [0,2]，则 ( , 0)， = (2,0)， = ( , 2)， = 2 ，
因为 ∈ [0,2]，所以当 = 2 时， 的最大值为 4．
17.解：(1)设 外接圆的半径为 ，依题意，π 2 = π，得 = 1，

由正弦定理可得sin = 2 ，所以 = 2 sin = 2 × sin30° = 2 ×
1
2 = 1，
又因为 + = 2 + 1 = 1 = 2 2， ，所以 ，由正弦定理，sin = 2 = 2 ，
由 ∈ 0, π 且 > ，得 = π 3π4或 4 (即 = 45°或 = 135°)
(2)由 sin + 3cos = 2，化简得 sin + π3 = 1，
因 ∈ 0, π π π π 1 1，故 + 3 = 2，解得 = 6，则 = 2 sin = 4 ，
因为 + = 2 + 1 1 1 + 3+2 2 2+1，所以 2 = 4 ≤ 4 ( 2 ) = 16 ，当且仅当 = = 2 时等号成立，
3+2 2
所以 面积的最大值为 16 ．
18.解：(1)由频率分布直方图有 10 = 1 10 × 0.005 + 0.010 × 2 + 0.020 + 0.025 ，
解得 = 0.030，
因为 10 × 0.005 + 0.010 + 0.020 = 0.35 < 0.5，0.35 + 0.030 × 10 = 0.65，
所以中位数在区间 70,80 内，设为 ，
则有 10 × 0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.03 × 70 = 0.5，得 = 75，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为 75；
(2)设 =“任选一道题，甲答对”， =“任选一道题，乙答对”，
=“任选一道题，丙答对”，
12 3 8 2
则由古典概型概率计算公式得： = 20 = 5， = 20 = 5， = 20，
2 3
所以有 = 5， = 5， = 1 20，
( )记 =“甲、乙两位同学恰有一人答对”，
则有 = ∪ ，且有 与 互斥，
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因为每位同学独立作答，所以 ， 互相独立，则 与 ， 与 ， 与 均相互独立，
所以 ∪ = + = +
= 3 × 35 5 +
2 2 13
5 × 5 = 25，
13
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率25；
( )记 =“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则 = ，
所以 = 1 = 1 = 1
= 1 2 × 3 225 5 × 1 20 = 25，
解得： = 10．
19.解：(1)在四面体 中， = ， = ， 为 的中点，则 ⊥ ， ⊥ ，
而 ∩ = ， , 平面 ，得 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)因为 为 中点， 为 中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
同理可得 //平面 ，
又 , 平面 ， ∩ = ，所以平面 //平面 ，
又 平面 ，所以 //平面 ．
(3)①依题意， = ， = ， 为 的中点，则 ⊥ ， ⊥ ，
故∠ 即为二面角 的平面角，
由于 = = 2 ∠ = 90° = 2 2 = 1，又 ，则 ， 2 = 2，
又∠ = 60° 3，则 = = = 2 2， = 2 × 2 2 = 6，
2
= 3 = 2 3 cos∠ = +
2 2 = 6+2 12 3在 中， ，由余弦定理， 2 2× 6× 2 = 3 ，
3
故二面角 的余弦值为 3 ．
②由于∠ ∈ 0, π ，故 sin∠ = 1 cos2∠ = 63 ，
1 = 2 sin∠ =
1
2 × 6 × 2 ×
6
3 = 2，
⊥ 1 1 4因 平面 ，则 = 3 = 3 × 2 × 2 2 = 3，
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因为 2 + 2 = 12 = 2，即∠ = 90°，则 1 = 2 = 2 2，
1 1 4
设点 到平面 的距离为 ，则 = 3 = 3 × 2 2 = 3，解得 = 2，
即点 到平面 的距离为 2，
设直线 与平面 2所成角为 ，所以 sin = = ，
因为 2 + 2 = 12 = 2，所以∠ = 90°，
1 1
故当 ⊥ 时， 最短，此时由 = 2 × 2 3 × = 2 × 2 2 × 2 可得
= 2 6 2 33 ，故正弦值最大为 2 6 = 2 ．
3
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