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2024-2025 学年福建省漳州市高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 i 是虚数单位，i2 = 2 + i，则| | = ( )．
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
2.如图， ′ ′ ′是一个平面图形的直观图，其中∠ ′ ′ ′ = 90°，
′ ′ = 2，则原图形的面积为( )．
A. 2 B. 2
C. 2 2 D. 4
3.在正方体 1 1 1 1中，则异面直线 与 1的所成角为( )
A. B. C. 6 4 3 D.

2
→ →
4.已知平面向量 , 的夹角是60 ， = 1, 3 ， = 1，则 + 2 = ( )．
A. 2 B. 6 C. 2 3 D. 2 6
5.漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主
题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层
参观的概率为( )．
A. 2 B. 1 C. 1 13 2 3 D. 4
6.在正四棱台 1 1 1 1中， = 4， 1 1 = 2，二面角 1 的平面角为 45°，则该正四棱
台的体积是( )．
A. 20 B. 28 28 3 563 3 C. 3 D. 3
7.为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，
并从中随机抽取了部分学生的成绩(满分为 100 分)，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该
频率分布直方图，用样本估计总体，则( )．
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A.频率分布直方图中的 的值为 0.15
B.该年级物理成绩的众数的估计值为 80 分
C.该年级物理成绩的平均数的估计值为 75 分
D.若物理成绩排名前 70％的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于 62 分
8.在 中， = 7， = 8， = 9， 是 边上的中线，则向量 在向量 上的投影向量为( )．
A. 1 B. 1 C. 1 6 5 4 D.
1
3

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选) , 为两个不同的平面， ， 为两条不同的直线，下列说法中正确的是( )
A.若 // , ，则 // B.若 // , ，则 //
C.若 ⊥ , // ，则 ⊥ D.若 ⊥ , ∩ = , ⊥ ，则 ⊥
10.四名同学各掷骰子 7 次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现
了点数 6 的是( )．
A.平均数为 3，中位数为 4 B.平均数为 3，方差为 1
C.平均数为 4，极差为 4 D.平均数为 2，第 80 百分位数为 4
11.已知 内接于圆 ， = = 4，设 = + ( , ∈ )，则( )．
A. = 8 B.若 cos = 1 724，则圆 的面积为 5 π
C.若 + = 1，则圆 的面积为 8π D.若 4 + 3 = 2，则 = 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某工厂生产 , , 三种不同型号的产品，数量之比为 2: 3: 4，现采用分层抽样的方法抽取 36 个产品进行
分析，则 型号产品被抽取的数量等于 ．
13 π 5π.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 3， = 3， = 12，则 = ．
14.已知三棱锥 ，满足 = = = = 3， = 2 = 2，则三棱锥 的外接球的表
面积等于 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 为虚数单位，复数 满足 3i 1 i = 2 + 4i，其中 ∈ ．
(1)若 为纯虚数，求 的值；
(2)若 在复平面内对应的点位于第二象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
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在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， (1,1)， (2, 1)．
(1)求向量 与向量 夹角的余弦值；
(2)点 是线段 的三等分点，求点 的坐标．
17.(本小题 15 分)
给定两个数组 = 1, 2, , 与 = 1, 2, , ，称 , =

=1 为这两个数组之间的
“差异量”，令数组 = 1, 2, , ，且集合 1, 2, , = 1,2, , ， ∈ ．
(1)当 = 3 时，写出 3的所有可能情况；
(2)记 = (1,2,3)，求 3, = 2 的概率．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，2 = 2 cos ， = 2．
(1)求 ；
(2)若 为 中点，且 = 7，求 的周长；
(3)若 是锐角三角形，求 面积的取值范围．
19.(本小题 17 分)
《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三
角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在四面体 中， ⊥底面 ，平面 ⊥平面 ．
(1)求证：四面体 为鳖臑；
(2)若 = 4， = = 2， 是 的中点．
(ⅰ)求 与平面 所成角的正弦值；
(ⅱ)已知 ， 分别在线段 ， 上移动，若 //平面 ，求线段 长度的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13. 6
14.9π2
15.解：(1)因为 3i 1 i = 2 + 4i，
所以 3i = 2 +4i = 2 +4i 1+i1 i 1 i 1+i = 2 + ( + 2)i，
所以 = 2+ ( + 5)i，
2 = 0若 为纯虚数，则 + 5 ≠ 0，解得 = 2；
(2)由(1)知， = 2 + ( + 5)i，
若 2 < 0在复平面内对应的点位于第二象限，则 + 5 > 0，解得 5 < < 2，
所以 的取值范围为( 5,2)．
16.解：(1)因为点 为坐标原点， (1,1)， (2, 1)，所以 = (1, 2)， = (1,1)，
则 cos
, =
1 2 10

= = ，
5 2 10
10
所以向量 与向量 夹角的余弦值为 10 ；
(2)若点 是线段 的三等分点，则 = 2 = 1或 2 ，设 ( , )，
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当 = 2 时，( 1, 1) = 2(2 , 1 )，
5
1 = 2(2 ) = 5 1
则 1 = 2( 1 )，解得
3
1，所以 3 , 3 ； = 3
当 = 1 12 时，( 1, 1) = 2 (2 , 1 )，
1 = 12 (2 ) =
4
则 ，解得 3 4，所以 , 1 ，
1 = 12 ( 1 ) =
1 3 3
3
5故点 的坐标为 3 ,
1 4 1
3 或 3 , 3 ．
17.解：(1) 3的所有可能情况为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)；
(2)因为 = (1,2,3)，由(1)知， 3的所有可能情况有 6 种，
当 3 = (1,2,3)时， 3, = |1 1| + |2 2| + |3 3| = 0，
当 3 = (1,3,2)时， 3, = |1 1| + |3 2| + |2 3| = 2，
当 3 = (2,1,3)时， 3, = |2 1| + |1 2| + |3 3| = 2，
当 3 = (2,3,1)时， 3, = |2 1| + |3 2| + |1 3| = 4，
当 3 = (3,1,2)时， 3, = |3 1| + |1 2| + |2 3| = 4，
当 3 = (3,2,1)时， 3, = |3 1| + |2 2| + |1 3| = 4，
所以满足 3, = 2 的有(1,3,2)，(2,1,3)共 2 种，
所以 3, = 2
1
的概率为3
18.解：(1)因为 2 = 2 cos ，由正弦定理得 2sin sin = 2sin cos ，
即 2sin( + ) sin = 2sin cos ，
所以 2sin cos + 2cos sin sin = 2sin cos ，
所以 2cos sin sin = 0，因为 ∈ 0, π ，所以 sin ≠ 0，
所以 2cos 1 = 0，得 cos = 12，由 ∈ 0, π =
π
，得 3；
(2)因为 为 中点，所以 = 1 + 2
，
则
2 2
= 1 + = 1
2 2
+ + 2 4 4
，
所以 7 = 1 24 + 4 + 2 2
1
2 ，解得 = 6(舍)或 = 4，
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由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 16 2 × 2 × 4 × 12 = 12，所以 = 2 3，
所以 的周长为 + + = 2 3 + 2 + 4 = 2 3 + 6；
(3)在 中，由正弦定理得sin = sin ，
sin 2sin( +
π)
所以 = = 3sin sin =
sin + 3cos 3
sin = 1 + tan ，
1 1 3 3 3 3所以 = 2 sin = 2 2 1 + tan 2 = 2 1 + tan
0 < < π2 π π
根据题意得 ，解得 < < ，
0 < = 2π π 6 23 < 2 ,
所以 tan ∈ 33 , + ∞
3 3
，所以tan ∈ (0,3)，所以 1 + tan ∈ (1,4)，
= 3 3 3所以 2 1 + tan ∈ 2 , 2 3 ，
所以 3的取值范围是 2 , 2 3 ．
19.解：(1)如图，在平面 内过点 作 ⊥ 于点 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥底面 ， , , 平面 ，
所以 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，所以 , △ 为直角三角形，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 , 平面 ，所以 ⊥ , ⊥ ，
所以 , △ 为直角三角形，
所以四面体 为鳖臑；
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(2)(ⅰ)如图，取 的中点 ，连接 , ，
因为 ⊥底面 ， 底面 ，所以 ⊥ ，
因为 = = 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以∠ 即为 与平面 所成的角，
因为 = 4， = = 2， 是 的中点，
所以 = 2， = 2，所以 = 6，
所以 sin∠ = 2 3 = 6 = 3 ，
所以 3与平面 所成角的正弦值为 3 ；
(ⅱ)如图，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，
由(1)知， ⊥ ， , 平面 ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 //平面 ， ∩ = ， , 平面 ，
所以平面 //平面 ，
因为平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，所以 // ，
设 = , ∈ (0,2)，则 = , = 2 ， = = 2 2 2 ，
易知 // 2 2 2 2，所以 = ，即 = 2 ，得 = 4 2 ，
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2
= 2 + 2 = (4 2 )2 + 2 = 5 8 + 16所以 5 5，
8 16 4 5
则当 = 5时 有最小值 5 = 5
4 5
所以线段 长度的最小值为 5 ．
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