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2024-2025 学年福建省福州市台江区九校高一下学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知 i 为虚数单位，若 = 1，则( )．
A. = 1 i B. 的虚部为 i
C. | | = 2 D. 在复平面内对应的点在第三象限
2.已知向量 = ( 1,2)， = ( ,1)，若 与 垂直，则实数 =( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
1
2
3.某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名．从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则
这 2 名学生来自不同年级的概率为( )
A. 1 1 1 26 B. 3 C. 2 D. 3
4.在 中，点 在 边上， = 2 .记 = ， = ，则 =( )
A. 12 +
3 B. 3 1 C. 1 3 D. 1 3 2 2 2 2 2 2 2
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 =“至多有一枚硬币正面朝上”，事件 =“两枚硬币正面均朝上”，
事件 =“两枚硬币正面均朝下”，则( )
A. 与 对立 B. 与 不互斥 C. 与 对立 D. 与 对立
6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰 边旋转一周
得到一个圆台，已知∠ = 45 ， = = 12 = 1，则该圆台的体积为( )
A. 73 B. 7 C.
14
3 D. 14
7.设 , 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A.若 // , ，则 // B.若 // , // ，则 //
C.若 ⊥ , ⊥ ，则 // D.若 ⊥ , // ，则 ⊥
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8.如图，圆 内接边长为 1 的正方形 , 是弧 (包括端点)上一点，则 的取值范围是( )
A. 1, 4+ 24 B. 1,
2+ 2
2 C. 1,
1+ 2
2 D.
2
4 , 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生 540 人，女生 360 人.现在按性别进
行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有 8 位女生的测试成绩，分别是 6，7，
7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为 7.5，则( )
A.样本中有 12 位男生的测试成绩 B.样本中女生测试成绩的第 70 百分位数是 9
C.样本中女生测试成绩的方差为 2 D.样本中所有学生测试成绩的平均数为 7.75
10.已知 的三个内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，则下列命题为真命题的是( )
A.若 sin > sin ，则 >
B. sin( + ) = sin 恒成立
C.若 2 + 2 > 2，则 为锐角三角形
D.若 cos = cos ，则 是等腰三角形
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，动点 在线段 1 1上， , 分别是 , 的中点，则下列
结论中正确的是( )
A. // 1 1
B.当 为 1 1中点时， ⊥
C.存在点 ，使得平面 //平面 1 1
D.三棱锥 的体积为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知向量 = 3,4 ， = 2,2 ，则 在 的投影向量的坐标是 ．
13 1 3.已知事件 和事件 相互独立， 表示事件 的对立事件， ( ) = 2， ( ) = 4，则 = ．
14.在 π 1 中， 是 边上一点，且 = 3， = 2，则 = ；若 = 2，则 的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
是复平面内的平行四边形， ， ， ， 四点对应的复数分别为 1 + 3 ，2 ，2 + ， ，
(1)求复数 ；
(2) 是关于 的方程 2 2 + = 0 的一个根，求实数 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且向量 = 3 , , = sin + sin , sin , // ．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 3, sin = 1 + cos ，点 为边 的中点，求 的长．
17.(本小题 15 分)
随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话
题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)内的老年人的
年收入按年龄[60,70), [70,80)分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)内的老年人 500
人．年龄在[70,80)内的老年人 300 人．现作出年龄在[60,70)内的老年人年收入的频率分布直方图(如下图
所示)．
(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)内的老年人年收入的平均数及第 95 百分位数；
(2)已知年龄在[60,70)内的老年人年收入的方差为 3，年龄在[70,80)内的老年人年收入的平均数和方差分别
为 3.75 和 1.4，试估计年龄在[60,80)内的老年人年收入的方差．
18.(本小题 17 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 1，点 是 的中点，求证：
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(1) 1//平面 1 ；
(2) 1 ⊥ 1 .
(3)若平面 1与平面 1的交线 为，求 与平面 1 1所成的角．
19.(本小题 17 分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的
两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当
一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙
1
首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为2，
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12. 1 1【答案】 2 , 2
13. 1【答案】8/0.125
14.【答案】 3； ；
；2 + 3/ 3 + 2
15.【答案】解：(1)复平面内 、 、 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，
设 的坐标( , )，由于 = ，
∴ ( 1, 3) = (2, 1)，
∴ 1 = 2， 3 = 1，
解得 = 3， = 2
，故 (3,2)，
则点 对应的复数 = 3 + 2 ；
(2) ∵ 3 + 2 是关于 的方程 2 2 + = 0 的一个根，
∴ 3 2 是关于 的方程 2 2 + = 0 的另一个根，
则 3 + 2 + 3 2 = 2，(3 + 2 )(3 2 ) =

2，
即 = 12， = 26．
16.【答案】解：(1)因为 // ，所以 3 sin sin + sin = 0，
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由正弦定理得 2 + 2 2 = 3 ，
2+ 2 2 3
由余弦定理得 cos = 2 = 2 ，

因为 ∈ 0, ，所以 = 6．
(2)解法一：因为 sin = 1 + cos ，
所以 sin = 1 + cos 5 3 1 1 36 = 1 2 cos + 2 sin ，则2 sin + 2 cos = 1
即 sin + 3 = 1，
0 < < 5 7 又 6，所以3 < + 3 < 6，则 +

3 = 2，所以 = 6．
故 = , = 2 3．
1 3
所以 = sin = 2 2 4 = 3，
所以 = = 2．
在 中，由余弦定理可得
2 = 2 + 2 2 cos 2 3 = 2
2 + 12 2 × 2 × 1 × ( 1 22 ) = 7，
即 = 7．
解法二：因为 sin = 1 + cos ，
5
所以 sin = 1 + cos 6 = 1
3
2 cos +
1 1 3
2 sin ，则2 sin + 2 cos = 1
sin + 即 3 = 1，
又 0 < < 5 7 6，所以3 < + 3 < 6，则 + 3 =

2，所以 = 6．
故 = , = 2 3．
1 3
所以 2 = 2 sin = 4 = 3，
所以 = = 2．
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ·cos = 12，所以 = 2 3，
又 = ， = + · 6
= 2 2，

所以 2 × 2 3 × cos 6 =
2 12，所以 = 7．
解法三：因为 sin = 1 + cos ，
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所以 sin = 1 + cos 5 3 16 = 1 2 cos + 2 sin
1
，则2 sin +
3
2 cos = 1
即 sin + 3 = 1，
0 < < 5 < + < 7 + 又 6，所以3 3 6，则 3 = 2，所以 = 6．
故 = , = 2 3．
= 1 3所以 sin = 2 2 4 = 3，
所以 = = 2．
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ·cos = 12，所以 = 2 3，
由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得(2 )2 + 2 = 2 2 + 2 ，
所以 2 2 + 4 = 2 12 + 4 ，
所以 = 7．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)内的老年人年收入的平均数约为 0.04 × 2 +
0.08 × 3 + 0.18 × 4 + 0.26 × 5 + 0.20 × 6 + 0.15 × 7 + 0.05 × 8 + 0.04 × 9 = 5.35，
由频率分布直方图，年收入在 8.5 万元以下的老年人所占比例为 1 0.04 × 1 = 0.96，
年收入在 7.5 万元以下的老年人所占比例为 1 (0.05 × 1 + 0.04 × 1) = 0.91，
因此，第 95 百分位数一定位于[7.5,8.5)内，
由 7.5 + 1 × 0.95 0.910.05 = 8.3，
可以估计该地年龄在[60,70)内的老年人年收入的第 95 百分位数为 8.3．
(2)设年龄在[60,70)内的老年人样本的平均数为 ，方差记为 2 ；
年龄在[70,80)内的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 2 ；
年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 2．
由(1)得， = 5.35，由题意得， 2 = 3， = 3.75， 2 = 1.4，
则 = 500 300500+300 × + 500+300 × = 4.75，
2 = 1由 800 × 500 ×
2
+ ( )2 + 300 × 2 + ( )2 ，
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可得 2 = 1 2800 × 500 × 3 + (5.35 4.75) + 300 × 1.4 + (3.75 4.75)
2 = 3，
即估计该地年龄在[60,80)内的老年人的年收入方差为 3．
18.【答案】解：(1)连接 1，交 1 于 点，
可知四边形 1 1 是平行四边形，可得 为 1中点，
又 是 的中点，则 // 1，又 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ．
(2)根据题意，三棱柱 1 1 1为直三棱柱，则 1 ⊥ 1 1，
又由 ⊥ ， // 1 1则 1 1 ⊥ ，
∩ 1 = ， 面 1 1， 1 面 1 1
则有 1 1 ⊥面 1 1，又 1 面 1 1，所以 1 1 ⊥ 1，
又由 = 1，则四边形 1 1为正方形，则 1 ⊥ 1，
又由 1 ∩ 1 1 = 1， 1 面 1 1， 1 1 面 1 1，则有 1 ⊥面 1 1，
1 面 1 1，则 1 ⊥ 1 ；
(3)延长 1 交 1 于 ，连接 ，则 ∈ 1 面 1 ， ∈ 1 面 1 1，又 ∈面 1 ， ∈面 1 1，
1
则直线 即为直线 .由 // 1 1，且 = 2 1 1，则 = 1 ，
又 1// 1且 1 = 1，所以 // 1且 = 1，则四边形 1为平行四边形，故 // 1，故
∠ 1 为 与平面 1 1所成的角．
因为 = 1，所以∠ °1 = 45 ．
即 与平面 1 1所成的角为45°．
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19. (1) : ( ) = ( 1 1【答案】解： 记事件 甲连胜四场，则 42 ) = 16；
(2)记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
1 1
则四局内结束比赛的概率为 ′ = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 4 × ( 42 ) = 4，
3
所以，需要进行第五场比赛的概率为 = 1 ′ = 4；
(3)记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 :甲赢，记事件 :丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
1 1 9
所以，甲赢的概率为 ( ) = ( 2 )
4 + 7 × ( 2 )
5 = 32．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 ( ) = 1 2 × 9 732 = 16．
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