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2024-2025 学年福建省部分学校教学联盟高一下学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 满足 (1 + i) = 1( 为虚数单位)，则在复平面内复数 对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.化简 + =( )
A. 2 B. 0 C. D. 0
3.从 1，2，3，4 这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是( )
A. 1 1 2 33 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知 , 是两条不重合的直线， , 是两个不重合的平面，则( )
A.若 // , // ，则 // B.若 // , ⊥ ，则 //
C.若 // , ⊥ , ⊥ ，则 // D.若 ⊥ , // , // ，则 ⊥
5.已知高均为 1 的圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积相等，则圆锥的体积为( )
A. 33 π B. π C. 3π D. 3π
6.若 cos( ) = 513 , cos2 =
1
3，且 为锐角， 为钝角，则 cos( + ) =( )
A. 5+24 2 B. 5 24 2 C. 12+10 2 12 10 239 39 39 D. 39
7.依次抛掷两枚质地均匀的骰子， 1表示事件“第一次抛掷骰子的点数为 2”， 2表示事件“第一次抛掷
骰子的点数为奇数”， 3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为 6”， 4表示事件“两次抛掷骰子的点数
之和为 7”，则( )
A. 3与 4为对立事件 B. 1与 3为相互独立事件
C. 2与 4为相互独立事件 D. 2与 4为互斥事件
8.已知点 是平行四边形 内的一点，且满足 + 2 + 3 + 4 = 0，设三角形 和平行四边形
的面积分别是 和 ，则 11 2 =( )2
A. 1 B. 15 4 C.
1 1
3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (3, 1)， = (1,2)，则下列选项正确的是( )
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A. ⊥ B. + = 17
C.若 = ( , 1)且 ，则 = 3 D. 与 夹角的余弦值为 210
10.已知函数 ( ) = 3sin( + )( > 0,0 < < π)的部分图象如图所示， π12 = 3， (0) =
3 3，
2
5π12 = 3，则( )
A. = 2
B. = 2π3
C. π6 为奇函数
D.当 ( )在[0, ] 4 5π 13π上恰有 个零点时， 3 ≤ ≤ 6
11.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点， 为正方形 1 1内的一个动点(包
括边界)，且 1 //平面 1 ，则下列说法正确的有( )
A.动点 轨迹的长度为 2
B.直线 1 与 1 不可能垂直
C.当三棱锥 的体积最小时，直线 与 所成角的余弦值为 101 1 1 1 10
D.当三棱锥 1 1 的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示， ′ ′ ⊥ ′轴， ′ ′// ′轴， ′ ′ =
2， ′ ′ = 5，则 ′ ′ ′的原图形的面积为 ．
13.如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点 ，在 处测得 处的无人机
和塔顶 的仰角分别为 30°，45°，且在 处无人机测得点 的仰角为 15°，点 ， ， 在同一条直线上.则塔
的高度 与无人机距地面的高度 之比为 ．
14.已知函数 ( )是定义域为 R 上的奇函数，满足 (1 + ) = (1 )，若 (1) = 2，则 (1) + (2) + (3) +
+ (2024) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了 200 名员工，根据这 200 名员工
对“工作任务安排”的认可程度给出的评分(评分均在［50，100］内)，将所得数据分成五组：
[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值，并估计这 200 名员工评分的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；
(2)估计这 200 名员工评分的第 60 百分位数；
(3)为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在
[50,60), [60,70), [70,80)的员工中用分层抽样的方法随机抽取 54 人进行沟通，求抽取的评分落在[70,80)内
的人数．
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16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，∠ = 60 ， ⊥平面 ， = 2，
为 的中点， 为 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求证： //平面 ；
(3)求三棱锥 的体积．
17.(本小题 15 分)
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
1 (毫克)与时间 (小时)成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 = e ( 为常数，e 为自然对数的
底数)，根据如图提供的信息：
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 (毫克)与时间 (小时)之间的函数关系式；
(2)为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克及以下时，学生方可进教室.
请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. (参考数据：ln2 ≈ 0.7)
18.(本小题 17 分)
2π
如图，在 中， 是 上一点， 是 上一点，且∠ = 3．
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(1)已知 ， 在 的垂直平分线上，且 = 1， = 3．
①求 ；
②若 为 外接圆的圆心， 1为 外接圆的圆心，求 1．
(2)若 是∠ 的角平分线， = 2 3，求 的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知平面四边形 ， = = 2，∠ = 60 ，∠ = 30 ，现将 沿 边折起，使得平面 ⊥
平面 ，此时 ⊥ ，点 为线段 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若 为 的中点，求 与平面 所成角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，求二面角 的平面角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13.2
14.0
15.解：(1)由题意知(0.010 + 0.015 + + 0.030 + 0.025) × 10 = 1，解得 = 0.020．
估计这 200 名员工评分的平均数 = 55 × 0.1 + 65 × 0.15 + 75 × 0.2 + 85 × 0.3 + 95 × 0.25 = 79.5．
(2)前 3 组的频率为(0.010 + 0.015 + 0.020) × 10 = 0.45，
前 4 组的频率为(0.010 + 0.015 + 0.020 + 0.03) × 10 = 0.75，
则第 60 百分位数位于[80,90)，设为 ，
则 0.45 + ( 80) × 0.030 = 0.6，解得 = 85，
即这 200 名员工评分的第 60 百分位数为 85．
(3)评分落在[50,60)的人数：0.01 × 10 × 200 = 20，
评分落在[60,70)的人数：0.015 × 10 × 200 = 30，
评分落在[70,80)的人数：0.020 × 10 × 200 = 40，
所以评分落在区间[50,60), [60,70), [70,80)的员工的人数比例为 20: 30: 40 = 2: 3: 4，
4
所以应抽取的评分落在[70,80)内的人数为 54 × 2+3+4 = 24．
16.解：(1)连接 ，
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因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因四边形 为菱形且∠ = 60 ，则 为正三角形，
又 为 的中点，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，则 ⊥平面 ．
(2)设 为线段 的中点，连接 、 ，
1
因 为 的中点，则 // ，且 = 2 ，
又 // 且 = ， 为 的中点，则 // 且 = ，
则四边形 为平行四边形，则 // ，
又 平面 ， 平面 ，则 //平面 ；
(3) ∵ = 2， 为正三角形，
∴ = 3, = 1，
∵ = 2， 为 的中点，
∴ = 1，
∴ 1 1 1 = 3 = 3 × 2 × 1 × 3 × 1 =
3
6 ，
故三棱锥 3的体积为 6 ．
17.解：(1)由图，直线过点(0.1,1)，所以图象中线段的方程为 = 10 (0 ≤ ≤ 0.1)，
0.1
又点(0.1,1)在曲线 = 1e 上，所以 1 =
1
e ，则 = 0.1，
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所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 (毫克)与时间 (小时)之间的函数关系式为 =
10 (0 ≤ ≤ 0.1)
1 0.1 ．
e ( > 0.1)
(2)因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于 0.25 毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到 0.25 毫克及以下时学生方可进入教室，
1 0.1 0.1 log
1
1
则 e ≤ 0.25
1 ≤ 1 4，所以 ee e ，所以 0.1 ≥ ln4，解得 ≥ 1.5，
所以从药物释放开始，至少需要经过 1.5 小时，学生才能回到教室．
18.(1)①因为 ， 在 的垂直平分线上，
所以， = ， = ，即 是 的中点，且 为等腰三角形，
所以， ⊥ ，∠ = ∠ = 12∠ =

3， =
π
6．
又 = 3，
3 1
所以 = 2 ， = tanπ = 2， =

sinπ = 1， = = 1．3 3
又 = 1，
所以 = 2， = + = 3．
= π在 中，有 6， = 3， = 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 3 + 9 2 × 3 × 3 × 32 = 3，
所以， = 3．
②易知点 , 1在直线 上，且在直线 的同侧，则 1 = 1 ．
设 外接圆的半径为 ， 外接圆的半径为 1．

则 2 = sin = 2 3，
所以 = 3， = = 3．
在 Rt 中，有 = 2 2 = 32．
2 = 1 sin = 2，
所以 1 = 1， 1 = 1 = 1．
在 Rt 1 中，有 1 = 21 2 =
1
2．
所以， 1 = 1 = 1．
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(2)由已知 是∠ 的角平分线， = 2 3 ∠ = 2π， 3，
π
可得，∠ = ∠ = 3．
所以， = + ，
1
即2 sin∠ =
1
2 sin∠ +
1
2 sin∠ ，
整理可得 = + = ( + )，
所以有 = + ．
又 + ≥ 2 ，当且仅当 = 时等号成立，此时 有最大值，
此时 π 1为等腰三角形， ⊥ ， = 6，且 = 2 = 3，
此时有 = = 3 = 2 = = 2cosπ 3 ， ，6 2
= = 所以有 + 2 2 = 1．
即 的最大值为 1．
19.解：(1)证明：∵ = ，∠ = 60°，
∴△ 为等边三角形，
∵ 为 中点，∴ ⊥ ，
取 中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ．
又∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
又∵ ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
解：(2)过点 作 ⊥ ，垂足为 .如图所示
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由(1)知， ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ .
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以∠ 为 与平面 所成角．
由(1)知， ⊥平面 , 平面 ，所以 ⊥ ．
在 Rt 中，∵ ∠ = 30 , = 2，
∴ = = 2 ∠ 3 = 2 3，
3
因为 1为 的中点，所以 = = 2 = 3．
在 Rt 中， = 2 + 2 = 12 + ( 3)2 = 2，
在 Rt 中， = 2 + 2 = 12 + (2 3)2 = 13，
2 2 2 2 2 2
在 中， ∠ = + 2 =
( 13) +2 ( 3) 7
2× 13×2 = 26 13，
所以 ∠ = 12 2∠ = 12 ( 7 2 3926 13) = 26 ．
39
所以 与平面 所成角的正弦值为 26 ．
(3)取 的中点为 ，连接 ，因为 为线段 的中点，
1 1 1 3
所以 // , = 2 2 2 22 = 2 × = 2 × 2 1 = 2 ，
由(1)知， ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，所以 ⊥ ．
过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ．
∩ = ， , 平面 ，
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所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角．
在 Rt 中， = 2 + 2 = 22 + ( 3)2 = 7，
由(1)知， 为等边三角形， 为线段 的中点，
所以 = 2 2 = 22 12 = 3．
由(1)知， ⊥平面 ．
又 平面 ，所以 ⊥ ．
在 Rt 1中，2 =
1
2 ，由(2)知， = 2，
1
即2 × 3 × 2 =
1
2 × 7 ×
2 21
，解得 = 7 ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
在 Rt 中， = 2 2 = ( 2 21 )2 ( 3 )2 = 3 217 2 14 ．
3 21
∠ = =
14 3
2 21 = 4．
7
所以二面角 3的平面角的余弦值为4．
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