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2024-2025学年河北省保定市 3+1联考高一下学期 7月期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角 = 2，则它是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知集合 = { | 3 < < 5}， = { | = 2 , ∈ }，则 ∩ =( )
A. {2,4} B. {0,2,4} C. { 2,0,2,4} D. {0,1,2,3,4}
3.已知命题 ： ≥ 0， 2 = ，命题 ： < 0， 3 + 1 < 0，则( )
A. 和 均为真命题 B. 和 均为真命题
C. 和 均为真命题 D. 和 均为真命题
1, > 0 [ ], ∈
4.已知 ( ) = 0, = 0 , ( ) = [ ] , ∈ ，其中[ ]表示不超过 的最大整数，如[ 3.5] = 4，则 1, < 0 R
( (e)) =( )
A. B. 1 C. 0 D. 1
5.函数 ( ) = 1 ln 的零点所在区间为( )
A. 12 , 1 B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
6 1.已知点 3, 9 在幂函数 ( ) =
的图象上，设 = log23 ， = ln2 ， = 5 ，则 ， ， 的大小关
系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7 .已知某种蔬菜的保鲜时间 (单位：小时)与储藏温度 (单位： )近似满足函数关系 = + ( , 为常数，
) 5 为自然对数底数 ，若该品种蔬菜在 时的保鲜时间为 216 小时，在 25 时的保鲜时间为 24 小时，则在
15 时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 120 小时 B. 96 小时 C. 72 小时 D. 64 小时
8 + .已知函数 ( )的定义域为 ，且对任意实数 ， ，都有 ( ) + ( ) = 2 ( 2 ) ( 2 ).若 (1) = 1，则 (
3
2 ) =( )
A. 3 12 B. 1 C. 2 D. 0
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图 1)产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷
器盘的大致形状，如图 2 所示，在扇形 中，∠ = 60°， = = 4，则( )
A. ∠ = π6 B.弧
4π
的长为 3
C. 4π扇形 的周长为 3 + 4 D.扇形
8π
的面积为 3
10 3.若实数 ， 满足( + )2 = 4 + 3 ，则( )
A. ≤ 34 B. ≥ 1 C. | + | ≤ 3 D. | + | ≥ 2
11.已知函数 ( ) = e 2+2 ，则( )
A.当 = 0 时， ( )为偶函数 B. ( )既有最大值又有最小值
C. ( )在( ∞, ]上单调递增 D. ( )的图象恒过定点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 6.已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴， (1, )为角 终边上一点，若 sin = 3 ，则
= ．
13.已知7 = 3，log72 = ，则log4948 = . (用 ， 表示)
14.德国数学家高斯用取整符号[]定义了取整运算，对于任意的实数 ，[ ]表示不超过实数 的最大整数，例
如[2.3] = 2，则 sin10° + sin20° + sin30° + + sin2030° = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集 = ，集合 = 2 + 2 < 3 ， = 3 < 3 < 6 ．
(1)若 = 3，求 ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知 tan(π + ) = 2．
(1)若 是第二象限角，求 cos 的值；
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(2) 2sin(π+ )cos( 2π )求 2 2 3π 的值．sin ( ) sin ( 2 )
17.(本小题 15 分)
已知二次函数 ( ) = 2 2 1．
(1)当 取何值时，不等式 ( ) < 0 对一切实数 都成立？
(2)若 ( )在区间( 2,1)内恰有一个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2+ 2 +1 +4
已知函数 = 为奇函数．
(1)求 的值；
(2)判断函数 在 0,2 和 2, + ∞ 上的单调性并证明；
(3)若对任意的 21， 2 ∈ 1,3 ，都有 1 2 ≤ 3 2 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
现定义了一种新运算“ ”：对于任意实数 ， ，都有 = ( + )( > 0 且 ≠ 1)．
(1)当 = 2 时，计算 4 4；
(2)证明： ， ， ∈ ，都有( ) = ( )；
(3)设 = 2 2 ( 3 + 2 )，若 ( ) = log 2 在区间[ , ](0 < < < )上的值域为
[log , log ]，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13. +4 2
14. 84
15.解：(1)由题意知 = 2 + 2 < 3 = 3,1 ，
= { 3 < 3 < 6} = 33 < <
+6
3 ，
若 = 3，则 = 0,3 ，所以 = ( ∞,0] ∪ [3, + ∞)，
所以 ∪ = ∞,1 ∪ 3, + ∞ ．
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，所以 是 的真子集，
+6 3因为 3 3 = 3 > 0，所以 =
3 < < +63 3 ≠ ，
3 ≥ 3
所以 3 +6 且等号不同时成立，解得 6 ≤ ≤ 3，
3 ≤ 1
则 的取值范围是 6, 3 ．
16.解：(1)依题意，tan = tan(π + ) = 2，由 是第二象限角，得 sin > 0, cos < 0，
sin = 2cos 2 5 5 5
又 sin2 + cos2 = 1，解得 sin = 5 , cos = 5 ，所以 cos = 5 ．
(2) 2sin(π+ )cos( 2π ) 2sin cos 2tan 2×( 2) 4
sin2
= = = = ．
( ) sin2(3π ) sin2 cos2 tan2 1 4 1 32
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17.解：(1)因为 ( )为二次函数，所以 ≠ 0，
又因为不等式 ( ) < 0 对一切实数 都成立，
< 0
所以 Δ = 4 + 4 < 0，解得 < 1．
(2)当 ( )在 R 上仅有一个零点时，由 = 4 + 4 = 0，解得 = 1，
2
此时零点为 2 = 1，符合题意；
当 ( )在 上有两个零点时， = 4 + 4 > 0，即 > 1 且 ≠ 0，
①当 ( 2) = 0 3 3时， = 4，则由 ( ) =
2
4 2 1 = 0
2
解得另一个零点为 3，符合题意；
②当 (1) = 0 时， = 3，则由 ( ) = 3 2 2 1 = 0 1解得另一个零点为 3，符合题意；
③当 ( 2) (1) ≠ 0 时，由零点存在定理，则 ( 2) (1) < 0，即(4 + 3)( 3) < 0，解得 ∈ 34 , 0 ∪
(0,3).
综上， ( )在区间( 2,1)内恰有一个零点时，实数 的取值范围为{ 1} ∪ 34 , 0 ∪ (0,3].
18.解：(1)由 为奇函数，定义域为 ∞,0 ∪ 0, + ∞ ，可得 1 = 1 ，
即 1 2 + 1 + 4 = 1+ 2 + 1 + 4 ，解得 = 12，
4
此时 = + ，又 =
4
=
1
，满足 为奇函数，所以 = 2；
(2)函数 在 0,2 上单调递减，在 2, + ∞ 上单调递增，证明如下：
1, 2 ∈ 0, + ∞ ，且 1 < 2，
有 1 2 = +
4
1 2
4
= 1 +
4 2 1 = 1 2 1 2 42 ，
1 2 1 2 1 2
当 2 ≤ 1 < 2时， 1 2 > 4, 1 2 < 0，所以 1 2 < 0，则 1 < 2 ，
所以 在 2, + ∞ 上单调递增；
当 0 < 1 < 2 ≤ 2 时，0 < 1 2 < 4, 1 2 < 0，所以 1 2 > 0，则 1 > 2 ，
所以 在 0,2 上单调递减；
(3)若对任意的 1, 2 ∈ 1,3 ，都有 1 2 ≤ 3 2 2 ，
只需 ( ) 2max ( )min ≤ 3 2 ，
由(2)可知 在 1,2 上单调递减，在 2,3 上单调递增，
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( ) = 2 = 4 1 = 1 + 4 = 5, 3 = 3 + 4 = 13所以 min ，又 3 3，
所以 ( )max = 1 = 5，
所以 5 4 ≤ 3 2 2 1，解得 ≥ 1 或 ≤ 3，
1故 的取值范围是 ∞, 3 ∪ 1, + ∞ ．
19.解：(1)当 = 2 时，4 4 = 42(2 + 24) = 232 = log225 = 5；
(2) ( ) = ( + ) = ( ( 证明：因为 + ) + ) = ( + + )，
( ) = [ ( + )] = ( + ( + ) ) = ( + + )，
所以( ) = ( )；
(3)由新运算可知， ( ) = 2 = ( + ) 2 = + 2 2 = = ( 2
3 + 2 2)，
所以 ( ) = ( 2 3 + 2 2)，
令 ( ) = 2 3 + 2 2 = ( )( 2 ) 3 ，开口向上，对称轴为 = 2，
令 ( ) > 0，得 < 或 > 2 ，
又因为 > 0 且 ≠ 1，
则 ( )在(0, )上单调递减，
又因为 ( )在[ , ]上的值域为[log , log ]，
所以log < log ( < )，
所以 = log 在[ , ]上为单调递减函数，
则 0 < < 1，
所以 ( )在[ , ]上单调递减，
( ) = 2 2
则 ( ) = ，即
3 + 2 =
2 2 ， 3 + 2 =
整理得， 2 2 3 ( ) = ( )，
所以 + 3 = 1，
将 = 3 1 代入 2 3 + 2 2 = ，
得 2 (3 1) + 2 2 3 + 1 = 0，
同理得， 2 (3 1) + 2 2 3 + 1 = 0．
所以 ， 是函数 ( ) = 2 (3 1) + 2 2 3 + 1 在(0, )上的两个不同的零点，
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1
(0) = 2 2 3 + 1 > 0 < 2或 > 1
( ) = 2 + 1 > 0 < 1
则 0 < 3 1 < ，即
2 ，
1
2 < < 1
= (3 1)2 4(2 2 3 + 1) > 0 3
< 3 2 3或 > 3+ 2 3
解得 2 3 3 < < 12．
1
故实数 的取值范围为(2 3 3, 2 )．
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