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2024-2025学年安徽省宣城市高一下学期期末调研测试数学试题
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.二进制是以为基数代表系统的二进制，通常用和表示二进制化为十进制的计算公式如下：若从二进制数，，，，，中任选一个，则二进制数所对应的十进制数大于的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东方向直线航行，分钟后到达处在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
6.一圆台的上、下底面半径分别是和，它的侧面展开图扇环的圆心角为，下列说法不正确的是( )
A. 圆台的母线长是 B. 圆台的高是
C. 圆台的表面积是 D. 圆台的体积是
7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，若角的平分线的长为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
9.先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是( )
A. 样本空间中一共含有个样本点
B. 事件“两次正面向上”发生的概率是
C. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件
D. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件
10.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是( )
A. 若，，，则只有一解
B. 若，则为钝角三角形
C. 若的外心为，，，则
D. 若，则的形状是直角三角形
11.如图，在边长为的正方形中，，分别是的，中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使，，三点重合，重合后的点记为，下列结论正确的是( )
A.
B. 三棱锥的外接球的体积为
C. 点到平面的距离为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组从小到大排列的数据为，，，，，，，，，，若其第百分位数等于其极差，则 ．
13.已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的周长为 ．
14.已知复数，，为虚数单位若，复数，在复平面内对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且的周长为．
求角
若外接圆的面积为，求面积的最大值．
16.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，点为的中点．
求点到平面的距离
在棱上是否存在点，使得平面若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
17.本小题分
为普及消防安全知识，某校开展了“消防知识竞赛”活动，共有名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛学生中随机抽取了名，统计他们的成绩，其中成绩不低于分的学生被评为“消防达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
估计参加这次竞赛的学生成绩的平均数和中位数结果保留小数点后一位
若在抽取的名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取人，再从人中选择人作为学生代表，求被选中的人均为消防达人的概率
已知组的方差为，组的方差为，试估计参加此次竞赛的学生不低于分的成绩方差每个分组区间内平均数取区间中点，结果保留小数点后一位．
18.本小题分
在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．
当时，求的值
当时，求的值
求的取值范围．
19.本小题分
如图，四边形是边长为的正方形，，平面平面，平面平面．
求证：平面
求二面角的余弦值
点在正方形内包括边界，若平面平面，且，求点的轨迹长度．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为的周长为，
可得，
由正弦定理，可得，即，
整理得，
又由余弦定理，可得，
因为，
所以；
设的外接图半径为，所以，所以，
由正弦定理得，故，
又，即，，
，，当且仅当时取等号，
故面积的最大值为．
16.解：因为三棱柱是正三棱柱，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为是的中点，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
点为的中点，
所以，，
所以，
，
设点到平面的距离为，
则，
所以，解得，
所以点到平面的距离为．
由可知平面，
平面，则平面平面，
在中作边上的高，的延长线交于点，即有，
平面平面，平面，
平面，于是点即为所要找的点，
在和中，，即，
∽，因此，
即有，于是，，．
17.解：平均数为，
由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
所以成绩在分以下的学生所占的比例为，
成绩在分以下的学生所占的比例为，
所以成绩的中位数一定在内，即，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的中位数为；
因为，
，
，
所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人，
其中有人为消防达人，设为，，，有人不是消防达人，设为，，，
则从人中选择人作为学生代表，
有，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中人均为航天达人为，，共种，
所以被选中的人均为消防达人的概率为；
内的频率为，
内的频率为，
内的平均数为，内的平均数为，
内的平均数为，
又组的方差为，组的方差为，
所以这次竞赛的学生不低于分的成绩方差为：
．
18.解：
，
当时，
，
．
当时，，
设，，
得，
．
，不共线，
解得，即．
因为，
，
所以，
，
由题意知，，
所以，当时，取到最小值，
当时，取到最大值．
故的取值范围是．

19.证明：四边形是边长为的正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
平面平面，平面平面，面，
平面，又平面，，
，，平面，
平面
解：过点作交于点，连接，
平面，，又，平面，
，是二面角的平面角，
在中，，，，
由得，
在中，，
，
二面角的余弦值为；
解：如图，以为直径在平面上作一个半圆，
在该半圆周上任取点，连接、、，则，
又由知平面，而平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，故点的运动轨迹在该半圆周上，
设中点为，
，所以，
根据扇形的弧长公式得点的运动轨迹长度为．

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