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2024-2025学年广西北海市高一下学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，，则的外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.以周长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，它们的夹角为，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则下列说法中错误的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
7.素面高足银杯如图是唐代时期的一件文物银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略，如图所示已知球的半径为，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为( )
A. B. C. D.
8.已知均为锐角，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. B.
C. 的虚部为 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则是直角三角形
11.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )
A. 若的最小正周期为，则
B. 若的图象关于点中心对称，则
C. 若在上单调递增，则的取值范围是
D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，复数，，若为纯虚数，则的虚部为 ．
13.设和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值等于 ．
14.在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值
求和的值．
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值
若，求向量与夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且C.
求角的大小
若，求的面积．
18.本小题分
如图，某小区有一块扇形草地，，，为了给小区的小孩有一个游玩的地方，物业要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，点，分别在线段，上，且，设
若，求矩形的面积
求矩形的面积的最大值，并求出此时弧的长度．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，，点为棱的中点．
求证：
求二面角的余弦值
求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由诱导公式及同角函数的基本关系，
有
有可得；
由，有，
有．
故有，．

16.解：因为，，所以，
又，
所以，解得
因为，
所以解得，，所以，
所以，，即向量与夹角的余弦值为．
17.解：因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
又，所以，
所以，所以
由，
可得，
即，
由，，所以，
所以．
18.解：作 ，垂足为 ，交 于 ，
由于四边形 为矩形，即 ， 关于直线 对称，
则 ， ，则 ， ，
而 ，故 为等腰直角三角形，则 ，
故 ，
则 ；
因为 ，则 ， ，而 ，
故 为等腰直角三角形，则 ，
故 ，
则矩形 的面积
，
因为 ，所以当 即 时， 取最大值 ，
所以 ，此时弧 的长度为 ．

19.证明：连接交于点，再连接，如图所示，
在中，，是的中点，所以，
又四边形是边长为的菱形，，所以，，，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以
解：因为，，，所以，，
所以，又，所以．
取的中点，连接，，如图所示．
在中，，，，点是的中点，所以，
同理可得，，
所以二面角的平面角为，
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值为
解：在中，，，，所以．
由知的面积．
因为点是的中点，
所以，
设点到平面的距离为，
所以，
解得，
又，
设直线与平面所成角为，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

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