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2024-2025学年河南省商丘市百师联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B.
C. ， D.
4.某初级中学对本校八年级的名男生进行米跑步体能测试，据统计，名男生跑完米所用的时间分钟服从正态分布，若，则这名男生跑完米所用的时间不少于分钟的人数大约为( )
A. B. C. D.
5.若，，，则( )
A. B. C. D.
6.的展开式中所有有理项的系数和为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图所示，则( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
8.已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. ，
B. 若，都是非零实数，且，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，满足，则的最大值为
11.苏格兰数学家约翰纳皮尔发现并证明了当且时根据约翰纳皮尔的这个发现以及我们所学的数学知识，关于函数，下列说法正确的是( )
A. 有且只有一个极值点
B. 的最小值为
C. 的单调递减区间是
D. 存在两个不相等的正实数，，使
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，且的图象过定点，则点的坐标是______．
13.身高不相等的人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的排法．
14.若，则在“函数的定义域为”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
用区间表示集合；
若，，求，的取值范围．
16.本小题分
某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相关关系，该兴趣小组在惠民医院抄录了年月份每月日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠民医院就诊的人数，得到如下数据：
日期 月日 月日 月日 月日
昼夜温差
因患感冒就诊人数人
求因患感冒到惠民医院就诊的人数关于昼夜温差的线性回归方程；
如果月日昼夜温差是时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数精确到整数．
附：线性回归直线中，．
17.本小题分
已知函数，．
判断的奇偶性；
若函数在和处取得极值，且关于的方程有个不同的实根，求实数的取值范围．
18.本小题分
六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是款不同造型的玩具摩托车与款不同造型的玩具跑车每款车的数量都充足，主办方将大小相同的个乒乓球上分别标注，，，，，，，，其中标注数字，，，的乒乓球分别代表款不同造型的摩托车，，，，的乒乓球分别代表款不同造型的跑车，并将这个乒乓球放在一个不透明箱子内活动规定：儿童节当天在该商场消费满元的消费者可从摸奖箱内摸出个乒乓球，然后再放回箱内；消费满元可先从摸奖箱内摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，然后再放回箱内；消费满元可先从摸奖箱内摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，放回后再从中摸出个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品．
若小明的家长当天在该商场消费恰好满元，求这位家长能获得款相同造型摩托车与款不同造型跑车的概率；
若本次活动小明家获得的奖品是台不同造型的摩托车和台不同造型的跑车，小英家也获得台不同造型的摩托车和台不同造型的跑车．
从他们两家获得的这台车中随机抽取台，如果抽出的台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望；
若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有台摩托车和台跑车的概率．
19.本小题分
“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数，都存在，且，如果是常数时，或，或，且是常数，则时．
已知函数，．
证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切；
若函数有两个零点，，函数有两个零点，
指出，，，的大致范围不必说明理由，并求出的取值范围；
试探究与的大小关系．
参考答案
1.
2.
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4.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15由，得，
即，且，
解得或，
所以，；
因为，所以，
不等式可化为．
当时，不等式化为，
解得，不满足，舍去，
当时，因为但，不满足，舍去，
当时，解得或，
因为，所以
解得，
所以的取值范围为，的取值范围为．
16.根据题意可知，，
，
，
，
，
所求线性回归方程为；
时，，
因此如果月日昼夜温差是时，预测因患感冒到惠民医院就诊的人数大约为．
17.解：因为，所以图像的对称轴为直线，
所以时，图像的对称轴为轴，此时为偶函数；
时，，，则，且，
所以为非奇非偶函数．
由题意知，所以，
因为在和处取得极值，
所以解得，
所以，的定义域为，．
令，得，或；
令，得，
所以在及上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又当时，；
当时，，
要使有个不同的实数根，当且仅当，
故实数的取值范围为．
18.记“小明的家长得到台相同造型摩托车与台不同造型跑车”为事件，
则；
易知的所有可能取值为，，，，
所以，
则的分布列为：
故；
两次交换后小明家仍有台摩托车和台跑车，包括种情况：
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
此时概率；
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
此时概率；
第一次交换后小明家是台摩托车台跑车，
此时概率，
则两次交换后小明家仍有台摩托车和台跑车的概率．
19.证明：时，，，
，，
又，，
所以曲线在点处的切线方程是，即．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程是，即．
所以时曲线在点处的切线与曲线也相切．
，．
由，得；，得，
令，则与的零点相同，与的零点相同，
又，
时，，单调递减；时，，单调递增；
时，，单调递减，时，，单调递增；
所以和在上都是减函数，在上都是增函数，
所以时，，时，，
因为有两个零点，即有两个零点，
所以，且解得．
当时，，，
又时，
根据洛必达法则可知，时，，
所以时，
所以时，在区间和上各有一个零点，
所以，
因此，若函数，各有两个零点，的取值范围是．
令，
则与的零点相同，与的零点相同，
在区间上是增函数，
，
，
令，则，
时，单调递增；时，，单调递减；
所以时，
于是时等号仅当时成立，
所以在上是增函数．
所以时，，，即时，；
时，，，即时；
由知，，
所以，
又，，
所以，
又在区间上是增函数，且，，
所以同理可证，
于是．
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