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2024-2025学年云南省德宏州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.若，是不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.在中，点满足，则( )
A. B.
C. D.
5.在中，内角、所对的边分别是、，且，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.在平行六面体中，，取棱的中点，则( )
A. B.
C. D.
7.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定数，，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 中位数为 B. 方差为 C. 众数为 D. 分位数为
10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是( )
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
11.如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿，将、翻折，使点，重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则( )
A. 三棱锥的体积为
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一批产品，其中一等品件，二等品件，次品件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出件进行质量分析，则抽取的一等品有______件
13.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______．
14.如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且若，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点，分别是线段，的中点．
求证：平面；
是线段的中点，证明：平面平面．
16.本小题分
某校高二年组组了一次专题培，从参加考试的学生中出名学生，将其成均为整数分成为，，，，分为组，得到如图所示的率分布直方图：
求分数值不低于分的人数；
计这次考试的平均数和中位数保留两位小数；
已知分数在内的男性与女性的比为：，为提高他们的成绩，现从分数在的人中随机抽取人进行补课，求这人中只有一位男性的概率．
17.本小题分
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了道，乙同学猜对了道，丙同学猜对了道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，向量，向量，且满足．
求角的大小；
若外接圆的半径是，求当函数取最大值时的周长．
19.本小题分
如图，是的直径，，点是上的动点，平面，过点作，过点作，连接．
求证：；
求证：平面平面；
当为弧的中点时，直线与平面所成角为，求四棱锥的体积．
参考答案
1.
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14.
15.证明：在四棱锥中，四边形是正方形，点，分别是线段，的中点，
连接必与相交于中点，
，
面，平面，
面，得证；
由点，分别为，中点，可得：，
面，平面，
平面，
又由可知平面，
且，，平面，
平面平面，得证．
16.解：由频率分布直方图可知满意度分数不低于分的人数为：
人，
所以分数不低于分的人数为人．
平均分：．
中位数：，．
的样本内共有学生人，名男性，名女性，
设三名男性分别表示为，，，四名女性分别表示为，，，，
则从名学生中随机抽取名的所有可能结果为：
，，，，，，，，
，，，，，，，
，，共种．
设事件为“抽取人中只有一位男性”，则中所含的结果为：
，，，，，，，，，，共种．
事件发生的概率为．
17.解：设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”，
则，，，
故，，，
所以任选一道灯谜，求，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为．
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，
则，
解得，
即的值为．
18.解：向量，向量，
由已知，得，
再根据正弦定理有，，
即．
由余弦定理得，，，
因为，
所以．
由知．
因为，
所以．
因此当时，有最大值．
此时，
．
故的周长是．
19.证明：因为平面，平面，
所以，
又因为是的直径，点是上的动点，可得，
因为，
所以平面，平面，
所以；
证明：过点作，过点作，
由可得，
所以平面，
而平面，所以，
，
所以平面，
而平面，
所以平面平面；
解：由可得平面，
则直线与平面所成角为，可得，
可得，
因为当为弧的中点时，，
可得，
可得到平面的距离为，
因为，，所以为的中点，所以为的中位线，
所以，且，
由可得四边形为直角梯形，，
，
所以．
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