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2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.若平面向量两两的夹角相等，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知是在上单调递增的奇函数，则函数在上的图象可能为( )
A. B.
C. D.
4.圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知某中学共有学生名，其中男生有人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为和，女生身高的平均数和方差分别为和，则估计该校学生身高的总体方差是( )
A. B. C. D.
6.如图，，两地相距，甲欲驾车从地去地，由于山体滑坡造成道路堵塞，甲沿着与方向成角的方向前行，中途到达点，再沿与方向成角的方向继续前行到达终点，则这样的驾车路程比原来的路程约多了参考数据：，，( )
A. B.
C. D.
7.已知中，、、分别为角、、所在的对边，且，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.设角、满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列结论正确的是( )
A. 在复平面内对应的点可能是 B.
C. 的实部与虚部之积小于等于 D. 复数，则的最大值为
10.以下结论正确的是( )
A. “事件，互斥”是“事件，对立”的充分不必要条件．
B. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，则与相互独立
C. 假设，，且与相互独立，则
D. 若，，则事件，相互独立与事件，互斥不能同时成立
11.在平面四边形中，，将该四边形沿着对角线折叠，得到空间四边形，为棱的中点，则( )
A. 异面直线，所成的角是 B. 平面
C. 平面平面 D.
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知平面向量，，若，则______．
13.某中学举办电脑知识竞赛，满分为分，分以上为优秀，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一、三、四、五小组的频率分别为，，，，而第二小组的频数是，则参赛的人数为______，成绩优秀的经验概率是______．
14.已知为等边三角形，点是的重心过点的直线与线段交于点，与线段交于点设，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且．
Ⅰ求的值和函数的最小正周期；
Ⅱ求不等式的解集；
Ⅲ在中，，，为边上的中线，设，，请直接写出的值和的长．
16.本小题分
如图，四棱锥为正四棱锥，底面是边长为的正方形，四棱锥的高为，点在棱上，且．
若点在棱上，是否存在实数满足，使得平面？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
在第问的条件下，当平面时，求三棱锥的体积．
17.本小题分
高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为分，随机抽取名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．
试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；
已知名学生落在第二组的平均成绩是，方差为，落在第三组的平均成绩为，方差为，求两组学生成绩的总平均数和总方差；
已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取名学生进行座谈，之后从这人中随机抽取人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率．
18.本小题分
如图，菱形的边长为，，将沿折起至如图，且点为的中点．
证明：平面平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，在正四面体中，棱长为，为中点．
求证：平面．
已知为棱上一点不含端点，，为线段上一动点，为截面上一动点．
若存在，使得平面，求范围．
(ⅱ)设的最小值为关于的函数，求值域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ
，
因为，所以，即，
所以，
所以函数的最小正周期为．
Ⅱ由，得，，
所以，，
所以不等式的解集为，．
Ⅲ因为，所以，
由题意知，，
所以，
所以，即，
设，，，
在中，由余弦定理得，，
即，
在中，由余弦定理得，，
即，
得，，
在，由余弦定理得，，
所以，
整理得，
所以，即，
解得或舍负，
所以，解得负值已舍，
故BC．
16.存在实数满足，使得平面．
证明如下：如图，
取上一点，满足，连接，，，
因为，所以．
因为平面，平面，所以平面，
因为底面是正方形，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面．
又因为平面，所以平面；
已知，因为平面，所以，
又因为正四棱锥的高为，底面边长为，所以．
17.解：由图可得，众数为，
平均数为；
由图可得，第二组的人数为人，第三组的人数为，
故，
；
由题，第二组和第五组的人数比为：：，
故在第二组和第五组分别抽人和人．
记第二组中的人为，第五组中的人分别为，，，
则这人中随机抽取人作为学生代表，所有可能的情况有：
，，，，，共种情况，
其中这两名学生代表都来自第五组的有：，，种情况．
设“从这人中随机抽取人作为学生代表，这两名学生代表都来自第五组”的事件为，
则．
18.证明：连接，交于点，连接，，
在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点，
又，是等边三角形，
显然，，
又，，平面，
平面，
平面，
，
在折叠过程中，始终有，又是的中点，
，又，、平面，
平面，
平面，
平面平面；
在边长为的菱形中，，，
以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设，，
，解得，
又折叠过程中，，
，
解得，
，，，
由知平面，
平面的一个法向量为，
平面的法向量为，
则，
取，则，，，
设平面与平面夹角为，
则．
平面与平面夹角的余弦值为．
19.证明：在正四面体中，，为等边三角形，
为中点，，，
，，平面，
平面．
如图，延长交于，在截面上，
则在线段上，
平面与平面为同一平面，
平面，，平面，
，又在线段上，．
将平面沿展开，并延长，交于点，
，
当，，，
平面，
当，即平面，取得最小值，
此时，，，
，，
，
，，
，
令，由题意得，
可得，
，则，
则，解得，
则，，
代入可得：
，
记，，
，令，
，则，
则，，
由题意得对勾函数在上单调递增，
则，
，
，
的值域为
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