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2024-2025学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一包装箱内有件产品，其中有件合格品现从中随机取出件，设取出的件产品中有件合格品，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本，设生产个单位产品的生产成本函数是，则生产个单位产品时，边际成本是( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上，且，则数列的前项和为( )
A. B.
C. D.
7.若，则，，今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为单位：毫米，且，现从中随机抽取个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间，则的估计值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱，下列关于相关系数的叙述中，正确的是( )
A.
B. 当与正相关时，
C. 越小，得出的与之间的回归直线方程越没有价值
D. 越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强
10.已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则( )
A. 曲线为函数的图象
B. 曲线为函数的图象
C. 函数在区间上是增函数
D. 函数在区间上是减函数
11.已知一组样本数据：，，，，其中，，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是( )
A. 排列后得到的新数列可能既是等比数列又是等差数列
B. 若排列后得到的新数列成等比数列，和有组可能取值
C. 若排列后得到的新数列成等差数列，和有组可能取值
D. 这组数据方差的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从两点分布，且，若，则 ______．
13.写出数列，，，，，，的一个递推公式：，______；一个通项公式：______．
14.若，则实数的取值范围是______参考数据：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求曲线在点处的切线方程．
16.本小题分
某工厂，两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利元、元、元，现从，生产线的产品中各随机抽取件进行检测，结果统计如图：
一等级 非一等级 合计
生产线
生产线
合计
根据已知数据，完成列联表并判断有的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？
以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？
附：，其中．
17.本小题分
已知甲、乙两个箱子中各装有个大小相同的球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子每次“交换”之前先抛掷一枚质地均匀的骰子，若点数为，，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为，，，，则从乙箱开始进行一次“交换”．
求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率；
已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知函数，，为实常数，，其中．
时，讨论的单调性；
求的最值；
，时，证明：．
19.本小题分
已知数列的首项，的前项和为，且．
证明数列是等比数列；
令，求函数在点处的导数；
设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：由函数，可得，
因为在处取得极值，可得，即，
整理得，解得，，
经检验，当，时，，
令，解得或；令，解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
所以在处取得极值，且符合题意，
所以，．
解：由得，函数且，
则，即切线的斜率为且，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
16.生产线生产的件产品中一等级产品数有，生产线生产的件产品中一等级产品数有，
因此列联表如下：
一等级 非一等级 合计
生产线
生产线
合计
零假设：一等级产品与生产线无关，
，
因此依据小概率值的独立性检验，没有充分证据可以推断不成立，
则可以推断成立，即没有的把握认为一等级产品与生产线有关．
设，两条生产线单件产品获利分别为，元，
因此，
因此，
因此，
因此，
，因此生产线的获利更稳定．
17.依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为，从乙箱开始的概率为，且每次“交换”后箱子总球数仍然为个，
要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，乙箱中摸出的都是红球，
若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为；
若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为；
设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件，
所以．
因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，
所以此时甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球，个白球，
的取值为，，
，
，
，
．
18.时，函数，，导函数，
当时，导函数，函数在上单调递减；
当时，根据，得，
时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减；在上单调递增；
当时，在上单调递减．
由于函数，因此导函数，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因此函数无最大值，最小值是．
证明：，时，函数，，
要证明，需要证明，，等价于，
设函数，可得导函数，
根据，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
那么函数的最大值是，即，
根据第二问知，
又由于，即，
所以式成立，所以．
19.证明：数列的首项，的前项和为，
且，
当时，可得，
相减可得，
两边同时加上，可得，
又，即，
所以数列是公比和首项均为的等比数列．
由，
可得
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
不存在，理由如下：由题，
则，设对任意正整数都成立，
则当为偶数时，，
因为为偶数，所以，所以；
当为奇数时，，
因为为奇数，所以，所以，
综上所述，不存在实数，使对任意正整数都成立．
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