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2024-2025学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知定义在上的偶函数满足，则( )
A. B. C. D.
5.记为等比数列的前项和若，则( )
A. B. C. D.
6.若数据，，和数据，，的平均数均为，方差均为，则数据，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是偶函数
C. 的图象关于直线轴对称 D. 在上单调递增
10.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，且的图象关于点对称，若存在实数，使得，，则( )
参考数据：若，则，
A. B.
C. D.
11.已知为坐标原点，点在曲线：上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线关于轴对称 B.
C. D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线与直线相切，则______．
13.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”如图，边长为的正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，且为的中点，则 ______．
14.如图，在四面体中，，，，平面平面，则四面体外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线：的焦点为，为上一点，且．
求；
若点在椭圆上，且直线与椭圆相切，求椭圆的标准方程．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求；
若为钝角三角形，求面积的取值范围．
17.本小题分
在一次闯关游戏中，某一关有，，三道题将这三道题按一定顺序排好后如第一道题为题，第二道题为题，第三道题为题，玩家开始答题若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关假设每名玩家答对，，三道题的概率分别为，，每次答题正确与否相互独立．
求玩家通过这一关的概率．
规定：答对题积分，答对题积分，答对题积分现有两种题序可供选择：第一道题为题，第二道题为题，第三道题为题；第一道题为题，第二道题为题，第三道题为题为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？
18.本小题分
如图，直四棱柱的底面是菱形，，，为锐角，，，分别是，，的中点．
证明：平面．
求二面角的余弦值的最大值．
19.本小题分
证明：当时，．
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为为上一点，且，
所以，
解得；
由得，
所以直线的斜率，
则直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，化简得，
因为点在椭圆上，
所以，
联立，
解得，．
则椭圆的标准方程为．
16.因为，所以，即A.
因为，，所以，及，所以．
因为，，
所以由余弦定理得：，
所以；
因为，，所以．
由正弦定理得：
，
因为为钝角三角形，所以或，
即或，所以，
所以，
所以．
所以面积的取值范围是．
17.设通关概率为，未通关概率为：
则，
那么，，
故玩家通过这一关的概率为；
计算两种答题顺序的期望积分：
顺序：
答对题：，答错答对：，答错、答对：
期望总积分：，
顺序：
答对：，答错答对：，答错、答对：，
期望总积分：，
比较结果大小：
故应选择题序．
18.证明：连接，，，设，连接．
在中，，分别是，的中点，
所以．
在中，，分别是，的中点，
所以，则．
因为平面，平面，
所以平面．
过点作交于点．
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设，且，则，．
设，
则，
即，
则．
设平面的法向量为，
则，则，所以，
可取．
易得平面的一个法向量为．
．
令，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
故二面角的余弦值的最大值为．
19.证明：令，那么导函数．
令，那么导函数．
由于，，，因此，在上单调递减．
又，，
因此存在，使得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
由于，因此当时，，得证．
由于，，
因此当时，，
解得，
因此当时，不符合题意，下面证明当时符合题意．
．
由于，因此当时，．
令，，那么导函数．
根据第一问得，当时，导函数．
当时，，，因此导函数，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即得证．
综上，的取值范围为．
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