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2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某班有名同学，一次数学考试满分分的成绩服从正态分布，若，则本班在分以上的人数约为( )
A. B. C. D.
3.已知与之间具有相关关系，并测得如下一组数据，与之间的经验回归方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.在公差不为的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知是减函数，则函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.已知点在幂函数的图象上，设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，某同学将其前项中某一项正负号写错，得其前项和为，则写错之前这个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A. 为等比数列 B.
C. 既有最大值也有最小值 D.
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A.
B. 当且仅当时，方程有两个不等的实根
C. 对区间上任意两个实数，都有
D. 设，只有一个极值点，则实数的范围为
11.已知甲口袋中装有个红球，个白球，乙口袋中装有个红球，个白球，这些球只有颜色不同先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“”是“”的______条件．
13.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是______．
14.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中，，定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：，不等式恒成立；命题：，使成立．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题，中恰有一个为真命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于项的称为“比较了解”，少于项的称为“不太了解”调查结果如表：
项 项 项 项 项 项 项以上
男生人
女生人
完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”
比较了解 不太了解 合计
男生
女生
合计
在抽取的名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个人的样本，从这个样本中随机抽取人，记为这人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：
，．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，若对恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，求的值；
当时，证明：有个零点．
19.本小题分
甲口袋中装有个黑球和个白球，乙口袋中装有个黑球和个白球设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．
Ⅰ写出的分布列并计算；
Ⅱ某人重复进行了次操作，记，，求该数列的前项和的最大值；
Ⅲ定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值简要说明你的理由
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充分不必要
13.
14.
15.解：命题：，不等式恒成立；
若为真命题，则，
解得，所以的取值范围是．
命题：，使成立．
当为真命题时：，
解得或，所以的取值范围是．
当命题，中恰有一个为真命题时，
为真命题，为假命题，即，
所以的取值范围是．
为假命题，为真命题，即，
所以的取值范围是．
综上，的取值范围是．
16.解：依题意填写的列联表如下：
比较了解 不太了解 合计
男生
女生
合计
，
没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．
抽取的女生人数为人，男生人数为人．
所以的可能取值为，，，，，
则，，
，，
，
因此的分布列为：
数学期望为．
17.解：设等差数列的公差为，
又，，
则，
则，
则；
由可得：，
则，
又对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立，
又当时，取最小值，
即，
即的取值范围为．
18.当时，，则，
，，
曲线在点处的切线方程为，
即．
函数的定义域为，且，
当时，，在上单调递减，
又，当时，，不符合题意；
当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，则其等价于，即．
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，因恒成立，故．
证明：，．
令，得，
令，则与有相同的零点，
且．
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，
又，，，使得，
当时，，即；
当时，，即，
在单调递减，在单调递增，
的最小值为．
由，得，即，
令，，则，则在单调递增．
，，则，
，从而，，
的最小值．
，当趋近于时，趋近于；
当趋近于时，趋近于，且，
有个零点，故有个零点．
19.Ⅰ由题意可知，的取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以；
Ⅱ显然最快出现为，之后最紧凑的是隔一次出现，
所以的最大值为；
Ⅲ当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为，
可以这样理解，甲盒子的黑球浓度为，乙盒子的黑球浓度为，当它们经过无穷多次交换后，即经过充分的均匀，则两盒的黑球浓度到达平均，
则甲盒子的黑球个数．
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