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2024-2025学年贵州省黔南州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，，，的中位数是( )
A. B. C. D.
3.在中，为边上的一点，且，则( )
A. B. C. D.
4.从这个数中随机选择一个数，则事件“这个数平方的个位上的数字是”的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下：
观看比赛场数
观看人数所占百分比
从表中可以得出正确的结论为( )
A. 估计观看比赛场数的极差为
B. 估计观看比赛场数的众数为
C. 估计观看比赛不低于场的学生约为人
D. 估计观看比赛不超过场的学生概率为
7.如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一平面的两个测量基点与现测量得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A.
B.
C.
D.
8.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. B. 的虚部是
C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知事件，满足，，则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件可能为对立事件
B. 若事件与事件相互独立，则它们的对立事件也相互独立
C. 若事件与事件互斥，则
D. 若事件与事件相互独立，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是侧面内的动点含边界，则下列结论正确的是( )
A. ，，，四点共面
B. 异面直线与所成的角为
C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
D. 当时，点的运动轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知为锐角，且，则 ______．
13.在一次猜灯谜活动中，共有道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了道，乙同学猜对了道，假设猜对每道灯谜是等可能的若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为______．
14.在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”如图，三棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，若，求的值．
16.本小题分
已知平面向量，且．
求和的坐标；
求向量与向量的夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题条件：；条件：．
若，求的面积；
求的取值范围．
18.本小题分
年月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作现随机抽取名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求的值．
估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数保留两位小数．
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者若这名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，分别为线段，的中点．
证明：平面；
证明：平面；
若，，记与平面所成的角为，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题可得：，解得，
则函数的定义域为，
由知函数的定义域关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，
又，所以．
16.因为，所以，解得，可得，
根据，可得，解得，可得；
因为，，
所以，，，
可得，，
即向量与向量的夹角的余弦值为．
17.选条件：，由正弦定理得，
因为，所以，可得，
因为，所以，
在中，当时，
由余弦定理，
即，解得，
所以；
选条件：因为，整理得，
由余弦定理可得，
可得，
因为，所以，
在中，当时，
由余弦定理，
得，可得，
所以；
解法一：由题设及可知．
由余弦定理，得，
解得，当且仅当时等号成立，
由三角形的三边关系可知，
所以，
即的取值范围为．
解法二：由题设及可知．
由正弦定理，得，
所以，，
得
，
因为，则，
所以
故，
所以．
即的取值范围为．
18.由频率分布直方图可得：，解得．
由频率分布直方图易知每组的频率依次为，，，，，
所以这名候选者面试成绩的平均数约为：
．
因为，，
设这名候选者面试成绩的第百分位数为，则，
则，解得，
故第百分位数为．
设第四组、第五组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
则第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为，
第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为
，
故估计第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差是．
19.证明：如图，取的中点为，连接，，
又，分别为线段，的中点，四边形为菱形，
所以且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
证明：如图，连接，，
因为四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以．
又平面，平面，，
所以平面．
设，．
因为四边形为菱形，而，故BD，
因为平面，平面，平面，平面，
故，，．
又因为，所以．
而，所以．
设为点到平面的距离，
所以．
又．
因为，
所以，
解得．
而与平面所成的角为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
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