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2024-2025学年贵州省毕节市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数是奇函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数满足，则下列结论正确的是( )
A. 在上单调递减 B. 的图象关于轴对称
C. 的图象过点 D.
4.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
5.下列选项正确的是( )
A. 如果直线，和平面满足，，，那么
B. 如果直线，和平面满足，，那么
C. 如果直线，和平面，满足，，，那么
D. 如果直线，和平面，满足，，，，那么
6.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为
C. 把函数的图象向右平移个单位长度得的图象
D. 函数在区间上单调递减
7.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线与所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，，则( )
A. B.
C. 与的夹角为 D.
10.已知为虚数单位，下列选项中正确的是( )
A. 若复数是纯虚数，则
B. 已知复数，，若，则
C.
D. 若是关于的方程的一个根，则
11.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，收集到一组数据单位：，其样本容量为，经计算得，该样本的平均数为，方差为检查时发现在收集这些数据时，遗漏了一个数据，并将一个数据错记为，将另一个数据错记为对遗漏和错误的数据进行更正后，重新计算得新样本的平均数为，方差为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.给定函数，，，用表示，中的最大者，记为，则的值为______．
14.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且四个顶点，，，在同一个平面内，四边形为正方形，如果八面体的表面积为，那么这个八面体的外接球的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某校举办“爱我中华”为主题的才艺展示海选活动，来自全校各年级的名选手同台竞技，他们的成绩在分之间，将其成绩分成，，，，五组，其频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图，求的值；
根据频率分布直方图，估计样本数据的第百分位数和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代替．
16.本小题分
某校为选拔足球特长生，特设置第一轮足球理论与第二轮足球技能两轮选拔考试每位学生均需要参加两轮选拔且两轮选拔均通过，则获得特长生资格在第一轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，；在第二轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，，甲、乙两名学生在每轮选拔中是否通过互不影响．
甲、乙两名学生谁获得特长生资格的概率最大？请说明理由；
求甲、乙两名学生中至少有一人获得特长生资格的概率．
17.本小题分
如图一，在正方形中，，分别是，的中点若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为如图二．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且B.
求证：；
点在边上，使得，求．
19.本小题分
已知函数是定义域为的偶函数，当时，．
求函数的解析式；
判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明；
令，，求不等式的解集．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.由题意知，
解得；
由频率分布直方图可知，成绩在分以下的频率为：
，
成绩在分以下所占比例为：
，
所以第百分位数在内，设第百分位数为，
所以，解得，
即样本数据的第百分位数为．
平均数为：，
即样本数据的平均数为．
16.设事件，分别表示甲、乙两名学生在第轮选拔中通过，
事件“甲获得特长生资格”，事件“乙获得特长生资格”，
由题意得，，，，
，
，
，
乙获得特长生资格的概率更大；
设事件“甲、乙两名学生至少有一人获得特长生资格”，
由知，，
甲、乙两名学生都没获得特长生资格的概率为：
，
．
17.证明：由题意得，
又因为，平面，平面，
所以平面；
取的中点为，连接，，
因为，分别是，的中点
所以，，
所以，，
因为平面，平面，
所以是二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，
设正方形的边长为，
所以，，，，
在中，，
所以，
即二面角的正弦值为．
18.证明：因为，
可得，
可得，
即，
由正弦定理得，；
解：因为，
所以，，，
在中，由余弦定理可得，
同理可得，
而，
化简整理得，
而，所以，
解得或，
当时，，，
当时，，，
综上或．
19.根据题意，设，则，
则，
又由是定义域为的偶函数，
则，
综合可得：．
由知，当时，，
所以函数在区间上单调递减，
证明如下：
设，为任意实数，且，
由，
又由，则，，
则有，
即，
故函数在区间上单调递减．
根据题意，当时，在上单调递增，
若，则有，
解可得：，
故不等式的解集为．
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