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2024-2025学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的各项都不相等，它的前项和为，且，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为，若，则的前项和为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 函数的定义域为
B. 曲线是中心对称图形
C. 当，时，函数在定义域上单调递减
D. 若，且在定义域上不单调，则
11.已知函数，，则( )
A. 函数在处取得极小值
B. 存在唯一实数，使得
C. 若，则图象上一点与图象上一点之间的距离可能为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
13.设是定义在上周期为的奇函数，当时，，则 ______．
14.已知曲线和曲线：，若曲线与曲线关于直线对称，则______；若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数满足，函数．
求函数的解析式；
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
某项比赛近五年的观众人数单位：万人与年份的统计数据如表所示：
年份
年份编号
观众人数万人
已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年的观众人数；
若该比赛的门票有，两个等次的票价，某机构随机调查了位观众的购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为观看比赛的观众是否购买等票与性别有关．
购买等票 购买等票 总计
男性观众
女性观众
总计
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为．
，其中．
17.本小题分
已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，．
求的通项公式；
对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，其中．
若，求的极小值；
讨论函数的单调性；
设函数在区间上的最大值和最小值分别为和，求使得不等式成立的的最大值．
19.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在处的切线方程；
若函数在上单调递减．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.根据题意，函数满足，，
用换，可得，
得，
所以．
根据题意，若存在，使得不等式成立，
设，
若，则，
则存在，使，即，变形可得，
因为，所以，
当时，取得最大值，
所以，即的取值范围是．
16.，所以，
，
则，因此，
故关于的线性回归方程为
易知年的年份编号为，当时，，
估计年观众人数将达到万人；
列联表如下：
等票 等票 总计
男性
女性
总计
零假设为：观看比赛的观众是否购买等票与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
故有的把握认为观看比赛的观众是否购买等票与性别有关．
17.设等差数列的公差为，
由题意可得，，，，
因为，，
所以，
整理得，解得，
所以．
对，若，则，
因此，，
故得，
于是
．
18.根据得，
解不等式，可得，所以在区间上单调递减，
解不等式，可得，所以在区间上单调递增，
因此函数的极小值为．
根据函数，那么导函数，
当时，函数，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，根据，得；
根据，得，
因此函数单调递减区间为，
的单调递增区间为，
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，
单调递减区间为．
根据第二问知，当时，在区间单调递增，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，那么在上单调递增，
综上所述，在上单调递增，从而，，
因此．
根据，得，即，
令函数，那么导函数，
根据，得舍去或，
当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减．
又由于，，且，
所以当时，；当时，，
即当且仅当时，恒成立，
所以使得成立的的最大值为．
19.导函数，
因此，，即切线斜率为，切点为，
因此处的切线为，即．
在上单调递减，
因此导函数在恒成立，即不等式在恒成立，
令函数，
当时，导函数，
因此函数在上递减，那么，
因此，所以．
证明：设为的前项和，
那么，可知此时不等式成立．
当时，
，
那么如果要证明，所以，
那么只需证明，所以，
由于当时，数列，因此可得，
根据知，当，函数在区间上单调递减，
因此函数，
所以，当且仅当时取到等号，
由于，因此，
因此，即，
那么，所以数列前项和，
所以．
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