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2024-2025学年陕西省西安四十四中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.某校举办了校园歌手大赛，参加总决赛的名同学的成绩单位：分为，，，，，，，，，，则这名同学成绩的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则或
4.某射击运动员射击次的成绩如下表：
第次 第次 第次 第次 第次
环 环 环 环 环
下列结论正确的是( )
A. 该射击运动员次射击的平均环数为 B. 该射击运动员次射击的平均环数为
C. 该射击运动员次射击的环数的方差为 D. 该射击运动员次射击的环数的方差为
5.已知单位向量，，满足，则( )
A. B. C. D.
6.如图，梯形是一平面图形的直观图，若，且，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这个节气中任选个节气，则这个节气不在同一个月的概率为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则周长的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量，，若与的夹角为锐角，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.如图，三棱台的侧棱长均相等，和都是等边三角形，，，，则( )
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线与直线所成的角为
C. 三棱台的体积为
D. 三棱台的体积为
11.设实验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件，，，分别包含其中的，，，个样本点，且事件和互斥，则( )
A. B.
C. 事件和相互独立 D. 事件和是对立事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数的共轭复数是本身，则 ______．
13.如图，正方体的棱长为，则三棱锥外接球的表面积为______．
14.如图，，均为圆上的动点可重合，为圆心，已知该圆的半径为，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点．
求三棱锥的体积；
证明：平面．
16.本小题分
某中学地理组教师团队研发了听歌曲学地理校本课程并对高一年级共名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数整理后得到如图所示的频率分布直方图．
求的值；
估计样本成绩的中位数结果精确到小数点后位；
若测验成绩不低于分的同学被定义为“地理爱好者”试估计全年级“地理爱好者”的人数．
17.本小题分
如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，设的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知．
求；
若点在线段上，，求．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，，为线段上一点，且，．
求；
求．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的动点，且满足．
证明：平面．
当的长度最小时，求过且与平行的平面截正方体所得截面的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意可得三棱锥的体积为；
证明：因为平面，又平面，
所以，
又底面矩形中，，为中点，
所以可得，又，且，
所以平面．
16.解：由题意得，
解得；
因为，，
所以中位数在这一组，设中位数的估计值为，
则，
解得，
即样本成绩的中位数约为；
全年级“地理爱好者”约有人．
17.因为，由对称性可得，，，
则，，
所以；
设，则，
所以，解得，
所以，
则．
18.由余弦定理及，，
可得，
因为，所以，，
在中，，
在中，，
由，可得，
整理得，
联立，解得或；
当时，由及，
可得，
由，可得，则，
将代入式，得，
由正弦定理，可得，
解得；
当时，由及，
可得，
由，可得，则，
将代入式，得，
由正弦定理，可得，
解得．
19.证明：在平面内过点作平行线分别交，于，，
在平面内过点作的平行线分别交，于，，连接，，
在中，由，可知，
又且正方体棱长为，代入可得，
所以所以，
同理可得，
又由，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：由第问知四边形为平行四边形，所以，
在中，由，可得，
所以，所以，
在中，所以，，
所以在中，，
当时，最小，此时，分别是线段，上的中点，
由，分别是线段，上的中点，可得，，，分别是各自所在棱的中点，
又因为，所以四点共面，
又，平面，平面，
所以平面，
所以四边形即为所求截面，
由于，，，分别是各自所在棱的中点，
可得，且，
所以四边形为平行四边形，
又平面，且，
所以平面，平面，
所以，
所以四边形为矩形，
而，，
故四边形的面积．
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