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2024-2025学年河南省信阳市商城县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是( )
A. B.
C. D.
3.若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知一组数据，，，，，，，的第百分位数是，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知的内角，，的对边分别为，若有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在梯形中，，，，点在线段上，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为人忽略眼睛到头顶的距离站在点处的延长线上时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为单位：
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两个概率大于的随机事件，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若和互斥，则和一定相互独立
C. 若事件，则
D. 若和相互独立，则和一定不互斥
10.下列关于向量的命题，错误的是( )
A.
B. 在边长为的等边中，
C. 若，则
D. 若，则向量，的夹角是钝角
11.在正方体中，，在线段上，则( )
A. 当为中点时，与所成角的正切值是
B. 与平面所成角为定值
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则实数 ______．
13.如图，正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则平面与底面所成的二面角的余弦值为______．
14.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差多面体的面的内角叫做多面体的面角角度用弧度制例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为在底面为矩形的四棱锥中，底面，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
若，求，；
若，求点的坐标．
16.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
若是的一个零点，求的值．
17.本小题分
已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且．
求；
若，，求；
若，求的值．
18.本小题分
某校从高一年级学生中随机抽取名，将他们的期中考试数学成绩满分分，所有成绩均为不低于分的整数分为组：，，，，绘制出如图所示的频率分布直方图．
求出图中实数的值；
若该校高一年级共有学生名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于分的人数；
若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生：
(ⅰ)写出该试验的样本空间；
(ⅱ)求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．
19.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，是半圆弧上异于，的动点，平面平面设，分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为．
证明：平面；
当时，求二面角的正切值；
求点到平面的距离用表示．
参考答案
1.
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5.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：，，，
则，，
，即，；
设，
，，
则，
，，
则，解得，
故点的坐标为．
16.由题意可得
，
令，，
解得，
故的单调递增区间为；
根据零点条件：，
可得，
所以，，
所以
．
17.解：由于，所以，
由得，
所以，且三角形为锐角三角形，
所以；
在中，由余弦定理有，
解得或舍，
故．
由，可得，
所以，，
．
18.因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，
可得，解得．
若该校高一年级共有学生名，成绩不低于分的频率为，
成绩不低于分的人数为人．
成绩来自的学生人数为人，记为，，
成绩来自的学生人数为人呢，记为，，，，
则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共个样本点，
(ⅱ)设“两名学生数学成绩至多有一名及格”，
则，其中含了个样本点，
所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．
19.解：证明：由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，，
则，又平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，
所以，
又因为为直径所对的圆周角，所以，即，
又，所以，因为，，平面，
所以平面．
连接，由题意可知当时，三棱锥体积取到最大，
此时，
解得，
由知平面，平面，所以，
又，所以即为二面角，
因，
所以，，
所以，
故二面角的正切值为．
连接，如图，由知平面，平面，
所以，
所以，
，，
所以，
在中，，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
即，
即，
解得，
故点到平面的距离为．
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