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2024-2025学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，其中，，，的夹角是，则( )
A. B. C. D.
3.某市某月天的空气质量指数为、、、、、、、、、，这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.若的内角，，所对的边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D.
5.设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则与平行或异面
6.已知复数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第次是丙投篮的概率为( )
A. B. C. D.
8.棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，过点作与直线平行的平面与底面不重合，设平面与正方体表面相交的多边形的周长为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.柜子里有双不同的鞋，从中随机地取出只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是( )
A. B. C. 与互斥 D. 与对立
10.为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛从参赛的名考生成绩中随机抽取个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分以上视为优秀，则( )
A. 的值为
B. 抽取的考生成绩的极差介于分至分之间
C. 名考生中约有名成绩优秀
D. 估计有一半以上的考生的成绩介于分至分之间
11.已知圆锥的底面半径为，其母线长，底面圆周上有一动点，下列说法正确的有( )
A. 截面最大面积为
B. 若，则直线与平面所成角的正弦值为
C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
D. 若点，且，一只小蚂蚁从点出发绕侧面一周到达点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则 ______．
13.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______．
14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若的面积为，求的最小值．
16.本小题分
如图，长方体中，，，点为的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
某市为推广新能源汽车，对潜在用户进行年龄抽样调查，共收集份有效数据所有数据均已从小到大排列，前个数据已经处理完成，剩下数据为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
年龄区间岁 频数
补充完整表格和频率分布直方图，并估计该市新能源汽车潜在用户的平均年龄同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
现用分层抽样从年龄在岁新能源汽车的潜在用户中抽取名幸运客户，再从这名幸运客户中选取人赠送购车补贴，求获得购车补贴的名幸运客户中恰好有一人年龄在的概率．
18.本小题分
如图，四面体中，，，，，为的中点，点在上．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值；
当的面积最小时，求三棱锥的体积．
19.本小题分
已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，，将点绕点为坐标原点沿逆时针方向旋转角得到点，其中，以为边作等边三角形，设线段与相交于点．
若，求向量的坐标；
求面积的最大值；
若，求角．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.由，
结合正弦定理得，
在中，，
所以，
整理得，
因为，，所以，
所以，结合，可得．
由题意得，解得，
根据余弦定理，可得，
所以，即，当且仅当时，的最小值为．
16.解：连接，交于点，连接，
由题可知为的中点，
又因为为的中点，
所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
在矩形中，过作于点，连接，
由题可知平面，所以，
又因为，且，，平面，
所以平面，由于平面，
所以．
所以即为二面角的平面角．
在矩形中，因为，，所以，
，
由得，
在中，又由，所以，
所以．
故二面角的余弦值为．
17.由题可知，数据落在的共有个数据，落在的共有个数据．
年龄区间岁 频数
所以的频率为：，．
的频率为：，．
所以潜在用户的平均年龄约为：
岁．
利用分层抽样从中抽取：人，分别记为，，；
从中抽取：人，分别记为，；
从中抽取：人，记为．
则从名幸运客户中选取人赠送购车补贴，样本空间为：
，共个样本点．
记“恰有一个年龄在”为事件，
则，包含了个样本点．
从而．
故获得购车补贴的名幸运客户中恰好有一人年龄在的概率为．
18.证明：因为，是的中点，所以．
因为，，，根据全等三角形边角边的判定，
所以≌，
所以，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，，
所以是等腰直角三角形，所以，．
依题意，所以，
则，所以，
又因为，，，平面，所以平面．
所以即为直线与平面所成的角．
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
因为，，且，，平面，
所以平面．
由已证≌，所以，
因为，，，根据全等三角形边角边的判定，
所以≌，
所以，是的中点，所以，
因为，所以当最短时，的面积最小．
当时，最短，过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，，所以．
过作，垂足为，则，
所以平面，且，所以，
所以．
19.已知，点绕原点逆时针旋转得到点，根据向量旋转公式，
可得，
又因为，因此．
由向量旋转可知，，
又为等边三角形，则可看作由绕点沿逆时针方向旋转得到的，
则
，
因此，
，
因为，因此，
当且仅当，即时，取得最大值．
若，则
．
由知，
因此，
由，，三点共线可知
，
化简整理得．
因为，，因此，则．
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