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2024-2025学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.从，，，，这五个字母中随机选择一个，则选中元音字母或的概率为( )
A. B. C. D.
3.对数与互为相反数，则有( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件“第一次掷出的点数是偶数”，“第二次掷出的点数是奇数”，“两次掷出的点数之和是偶数”，则( )
A. 与互为对立 B. 与相互独立 C. 与互斥 D. 与相互独立
8.在正三棱柱中，，，分别是棱，，上的点，，，若平面将该三棱柱截成体积相等的两部分，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B. 的共轭复数是
C. 的虚部是 D. 是纯虚数
10.已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，当时，，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数
C. 在上单调递减 D. 在内有个零点
11.在四面体中，，二面角的大小为，该四面体的所有顶点都在半径为的球的球面上，半径为的球与该四面体的四个面均相切，则( )
A. 当时， B. 存在，使与重合
C. 随的增大而增大 D. 对任意的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某市月份第三周空气质量指数如下：，，，，，，，则这组样本数据的第百分位数是______．
13.在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______．
14.已知向量满足，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，设函数．
求的值；
求的单调递增区间．
16.本小题分
近年来，绍兴市持续推进实施先进制造业强市“”计划，出台加快制造业转型行动方案某企业在政策扶持下改革创新，成效显著现随机抽取该企业改进生产工艺前、后各件产品，并测量某项质量指标值小于的产品为不合格品，大于或等于的产品为优等品，得到如下频数分布表：
改进生产工艺前
质量指标值
频数
改进生产工艺后
质量指标值
频数
分别估计该企业在改进生产工艺前、后的产品的优等品率；
若改进生产工艺后，每件产品的利润单位：元与其质量指标值的关系为估计该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润．
17.本小题分
已知平面四边形的对角线分别为，，且．
若，，求的面积；
若，，的平分线交于点，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，，分别是棱，上的点含端点．
证明：；
若为棱的中点，且二面角的正切值为，求；
设点是边上的点含端点，求的最小值．
19.本小题分
已知一组数据：，，，，的平均数为，标准差为，且满足，，，，，．
若，求函数的最小值；
若，求证：；
若，，，的方差为，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意得，
所以．
令，解得，
所以的单调递增区间为．
16.设企业在改进生产工艺前的优等品率为，改进生产工艺后的优等品率为，
则，，
故该企业在改进生产工艺前、后的产品的优等品率分别为，；
由题可知，指标值的频率为，的频率为，的频率为，
设该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润为，
则，
所以该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润为．
17.因为，，
所以为钝角，为锐角，
则，，
在中，由正弦定理得，
即，解得，
又，
所以
；
因为，，平分，
所以，，
则，
过点作，，垂足分别为，，如图所示，
则，设，
则
，
所以，
在中，．
18.证明：连接，
在中，由余弦定理得，，
所以，所以，
又因为四边形为平行四边形，所以，即，
因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
在平面中，过点作，垂足为，连接，
由知，平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以，
又平面，平面，平面平面，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
则在中，，
因为底面，平面，所以，
在中，，
又为棱的中点，所以，
所以，则，
所以，
在中，，
所以，设，
在中，由余弦定理得，，
所以．
将，在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得，
则，当且仅当，，在同一直线上时，取得最小值，
所以，
当，，在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示，
则，
故的最小值为．
19.一组数据：，，，，的平均数为，标准差为，
满足，，，，，，
若，，
，
则，
，
故当时有最小值；
证明：一组数据：，，，，的平均数为，标准差为，
满足，，，，，，
若，由，
则，
由，则，，则，
即，
则，
故，
又，故，故有，
即，即；
证明：一组数据：，，，，的平均数为，标准差为，
满足，，，，，，
若，，，的方差为，
设，，，的平均数为，
，
则，
要证，只需证，
令，即只需证，
即只需证，即只需证，
由，则，，
不妨设，满足的最大正整数为，
若，
则，
又，矛盾，故，
则
，
即，
．
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