资源简介

2024-2025学年四川省德阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则集合的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某单位共有老年、中年、青年职工人，其中有青年职工人，老年职工与中年职工的人数之比为：为了了解职工的身体状况，現采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工人，则抽取的老年职工的人数为( )
A. B. C. D.
4.若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
5.在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”若函数的“不动点”为，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过，则( )
A. B. C. D.
6.已知甲、乙两组数据分别为：，，，，，和，，，，，，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大，则( )
A. 甲组数据的第百分位数为 B. 甲、乙两组数据的极差不相同
C. 乙组数据的中位数为 D. 甲、乙两组数据的方差相同
7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则等于( )
A. B. C. D.
8.若是定义在上的偶函数，对，，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，一定能根据以下数据确定长度的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
10.已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C. 向量，在上的投影向量相等
D.
11.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角正切值为______．
14.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，向量，向量，若．
求的面积；
若，求．
16.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
若是的一个零点，求的值．
17.本小题分
在梯形中，，，为的中点，为的中点将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．
求证：平面；
若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论．
18.本小题分
已知函数．
探讨函数图象的对称性，并说明理由；
将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象．
求的值；
若函数满足，求的最大值；并指出当取得最大值时，、的值分别是多少？
19.本小题分
将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．
若，求；
如果，计算的特征值，并求相应的；
若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意可知，且，
两式联立得：，又，或舍，
故，由三角形面积公式得；
，且由知，设三角形的外接圆半径为，
由正弦定理得：，
解得或舍，．
16.由题意可得
，
令，，
解得，
故的单调递增区间为；
根据零点条件：，
可得，
所以，，
所以
．
17.证明：在梯形中，，
，为的中点，为的中点
，，，
又为的中点，为等边三角形，四边形为菱形，
，
为的中点，，，
连接，则，
若使构成的四棱锥体积最大，则平面，
平面，，
，平面，平面，
平面；
当为中点时，平面平面，
取中点为，连接，，，
为边的中点，，
平面，平面，平面，
又，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面平面，
由得平面，又平面，平面平面，
平面平面．
18.对于，要使有意义，则，
即，解这个不等式可得，所以函数的定义域为，关于原点对称，
再由，
所以，故是奇函数，它的图象关于原点对称．
由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数为：
，此时定义域为，
再由，
所以；
由于，所以不等式可变形为：
，
因为当时，，所以是在上的增函数，
又因为当时，是在上的增函数，
所以也是在上的增函数，
即是在上的增函数，
因为，所以，
即，又因为，所以，
它们取等的条件为，此时满足，
所以或．
19.已知，则．
由，即，可得．
代入得：．
因为，当即时，最大为，故．
由，得方程组：
，整理为．
将代入，消去，否则为零向量得：
，即，解得．
当时，，取，则．
当时，，取，则．
由，得：
．
因为非零，所以此齐次方程组有非零解，需系数矩阵行列式为，即：
，展开得．
要使有唯一特征值，此二次方程需有唯一解，即判别式．
计算．
第2页，共2页

展开更多......

收起↑