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2024-2025学年贵州省六盘水市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，的众数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.下列图象中，有可能表示指数函数的是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知角的终边经过点，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥，，，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知边长为的正方形，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.若，表示两条直线，表示一个平面，则下列选项为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
11.已知的三个内角，，的对边分别为，，，，，，的面积为，的面积为，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出命题“，”的否定：______．
13.若函数在上的最大值是最小值的倍，则 ______．
14.已知函数，，则函数的零点个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求及的值；
若，求的值．
16.本小题分
如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点．
证明：平面；
若，求二面角的平面角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
当时，求函数的最大值和最小值；
若函数为奇函数，求的最小值．
18.本小题分
为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛现从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
根据频率分布直方图计算样本成绩的分位数；
若总体划分为层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则已知在的平均数是，方差是，在的平均数是，方差是，求这两组样本的总平均数和总方差．
19.本小题分
若定义域为的函数满足，则称函数为“型”弱对称函数．
若函数为“型”弱对称函数，求的值；
若函数为“型”弱对称函数，且恰有个零点，，，求的值；
若函数为“型”弱对称函数，且恰有个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.由，，
可得，
；
由题意，，，
由，
可得，解得．
所以的值为．
16.证明：因为平面，平面，所以．
因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，
所以．
又因为，平面，平面，
所以平面．
由知平面，因为平面，所以．
又因为，
所以就是二面角的平面角．
设，因为，所以．
在中，因为．
所以．
所以二面角的平面角的正弦值为．
17.由题意可得，
可得的最小正周期；
由，可得，
可得当，即时，，
当，即时，；
由题意可得，
若为奇函数，可得，，
解得，
当时，，当时，，
所以的最小值为．
18.根据题意可知，，解得；
由题，成绩在的频率为，
在的频率为，
所以样本成绩的分位数在内，设样本成绩的分位数为，
则，解得，
所以样本成绩的分位数为；
频率为，样本量，的频率为，样本量，
所以两组样本的总体平均数，
两组样本的总方差．
19.由于函数为“型”弱对称函数，因此，
所以，化简整理得方程恒成立，
所以，所以．
根据题意可得，
如果是函数的零点，那么也是零点，而函数恰有个零点，，，
因此显然是其中一个零点，设，那么，
所以．
根据题意，，且，
对于函数的零点，其中，，，，有，那么，
如果，那么，因此必为的一个零点，
如果，所以，那么，
因此
，
又因为对任意满足条件的恒成立，因此，
．
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